2011全国高中数学竞赛不等式试题
3、不等式
2log 211
log 32
12x x >0的解集是 ( )
A ．[2，3]
B 。

（2，3）
C 。

[2，4] D。

（2，4）
[答案]3、解：原不等式等价于
222331log 1log 0
2
2
2
log 1
x x
x 设
2
2310
log 1,2
2
0t t
x t t
则有
解得
01t 。

即20
log 11,
24x x。

故选C 。

2003年全国高中数学联赛
(第一试)
7．不等式3
2
2430x x
x
的解集是______________
9. 已知
2
430,,A
x x x x
R 12
20,275
0,.x
B x a
x a x x
R 若A B ，则实数a 的取值范围是_____________. 13．设
35,2
x 证明不等式21
23
153219.
x x x
[答案]7. 3,2
1
521
5,3. 提示：原不等式可以化为:0
1||3||2
x x x 9.
14
a 提示：
3
,1A
,令
a x f x
12,5722
x
a x
x
g ,则只需x g x f ,在（1，3）上的图象均在
x 轴
的下方，其充要条件是
3
010301
g g f f ,由此推出
14a ;
13．证明：由
bd ac da cd bc ab d
c
b
a
d c b a 2)
(2
2
2
2
2
可得
,22
2
2
2
d c b a d
c
b a 当且仅当a=b=c=d 时取等号……5分
则
x
x
x x x x
x 3153
21
1
2315321219
214
2x ……………………………………………………
15分
因为
x x x 315,32,1不能同时相等，所以
19
23153212x x x ……………………………………20分
2001年全国高中数学联赛试卷
4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的△ABC
恰有一个，那么k 的取值范围是（）
（A ）k=38
（B ）0<k ≤12 （C ）k ≥12（D ）0<k ≤12或k=3
86．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的
价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）（A ） 2枝玫瑰价格高（B ） 3枝康乃馨价格高（C ）
价格相同
（D ）
不确定．
10. 不等式
2
32
log
12
1x
的解集为．
11．函数
232
x
x
x y 的值域为
[答案]．4．D 6．A 10．
,42
,11,07
2
11．,
22
3,
12000年全国高中数学联赛 (第一试)
10．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(f 且对任意R x
都有5)()5(x f x f 1
)()1(x f x f 若x x f x g 1)()(，则)
2002(g ．
11．若
1)
2(log )
2(log 44y x
y x ，则|||
|y x 的最小值是
．
12．使不等式x a
x
a x
cos 1cos sin 2
2
对一切R x 恒成立的负数a 的取值范围是
．
[答案]10.解：由x x f x g 1)()(，得1)
()(x x g x f ，所以
5)
1()(1
)5()5(x
x g x x g 1
)1()
(1
)1()
1(x x g x x
g 即)()5(x g x g ，)()1(x g x g ∴)
()1()2()
4()
5()
(x g x g x
g x
g x
g x g
∴)
()1(x g x
g 即)(x g 是周期为1的周期函数，又
1)
1(g ，故1
)
2002(g 11.解：
4
)
2)(2(0
202y x
y x
y
x y x
4
40||22
2
y
x
y x 由对称性只考虑0y
，因为0x
，所以只须求y x 的最小值．
令u y x
公代入442
2
y x
，有0)
4(232
2
u uy
y ．这是一个关于
y 的二次方程显然有实根，故
0)
3(162
u ，∴3
u 当3
34x
，3
3y
时，
3u ．故||||y x 的最小值为3
12.解：原不等式可化为
4
)1()
2
1(cos 2
2
2a a
a x ∵1cos 1x ，0a
，
2
1a
∴当
1cosx
时，函数2
)2
1(cos a x
y
有最大值2
)211(a ，
从而有4)1()
2
11(2
2
2
a a
a ，整理得0
22
a
a ∴
1a 或2a ，又0a
，∴2
a
1999年全国高中数学联合竞赛
三、(满分20分)已知当x [0,1]时，不等式
0sin
)1()1(cos
2
2
x x x x 恒成立，试求的取值范围．
[答案]13.若对一切x ［0，1］，恒有f(x)= 0sin
)1()1(cos
2
2
x x x x ，
则
cos θ=f(1)>0,
sin θ=f(0)>0.
(1)
取x (0，1)，由于x x x x x f 1cos sin 12，
所以，
0x f 恒成立，当且仅当0
1cos sin 2(2 )
先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cos θ>0,sin θ>0，可得0<θ＜2
.。