专题二 集合 函数 不等式 导数一 能力培养1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想; 4,运算能力; 5,转化能力. 二 问题探讨[问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的取值范围:(I)A B =∅;(II)A B B =.[问题2]求函数()af x x x=+的单调区间,并给予证明.[问题3]已知()1x f x e ax =--.(I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;(II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值;(III)设2()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.[问题4]设11()lg 21x f x x x-=+++. (I)试判断()f x 的单调性;(II)若()f x 的反函数为1()f x -,证明1()0f x -=只有一个解;(III)解关于x 的不等式11[()]22f x x -<.三 习题探讨 选择题1已知函数()2x f x =,则12(4)f x --的单调减区间是 A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]-2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x =D,y3已知函数(1)()(1)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时,()(1)g x x x =+，则方程()()()f x g x f x +=·()g x 的解的个数有A,4个 B,2个 C,1个 D,0个 4如果偶函数()y f x =在[0,)+∞上的图象如右图,则在(,0)-∞上,()f x =A,1x + B,1x - C,1x -+ D,1x -5设函数121()1(0)2()(0)xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,已知()1f a >,则a 的取值范围为A,(1,1)- B,(,1)(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞6对于函数32()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数,无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极 大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有A,一个 B,二个 C,三个 D,四个 填空题7函数2(2)log xf x =的定义域是 .8已知2(1cos )sin f x x -=,则()f x = .9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 .10若不等式2log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足102x <<的x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .112ln y x x =-在点M(1,0)处的切线方程是 . 解答题12函数y A,函数2lg(43)y kx x k =+++的定义域 集合B,当A B ⊃时,求实数k 的取值范围.13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线22()y x ax a R =++∈与线段AB 有两个不同的 交点,求a 的取值范围.14已知定义在R 上的函数()f x ,满足:()()()f a b f a f b +=+,且0x >时,()0f x <, (1)2f =-.(I)求证:()f x 是奇函数; (II)求()f x 在[3,3]-上的最大值和最小值.15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的 兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用()f x 表 示学生掌握和接受概念的能力(()f x 值越大,表示接受的能力越强),x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:分),可有以下公式:20.1 2.643(010)()59(1016)3107(1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?16已知函数2()ax f x x e =,其中0a ≤,e 为自然对数的底数.(I)讨论函数()f x 的单调性;(II)求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值.四 参考答案:问题1:(I):(1)a<0,A=,∅∅解当时有AB=,{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}.由∅AB=,有3813a a -+≥-⎧⎨≥+⎩ 得112a a ≤⎧⎨≤-⎩与≥a 0,矛盾! 故当∅AB=时,a 的取值范围是(,0)-∞;(II)解:(1)a<0,A=,∅当时有A B=B ,{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}由AB=B,必有A B ⊆,得 38a +<-或31a -+> 得11a <- (舍去)或2a < 得02a ≤<故当AB=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.问题2:解:(1)当0a =时,0()f x x x=+, 令'()0f x <,得x <<它的定义域是0x ≠, 得()f x 的单调增区间是(,-∞,)+∞它分别在(,0)-∞,(0,)+∞上为增函数. ()f x 的单调减区间是(. (2)当0a >时,()f x 的定义域是0x ≠, (3)当0a <时,()f x 的定义域是0x ≠,2'22()1a x a f x x x -=-= 2'22()1a x a f x x x-=-=0>令'()0f x >,得x >x < 得()f x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞.温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法, ②'()0f x >('()0f x <)⇒()f x 为增(减)函数,反之不行; ③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用. 问题3:解:(I)()1x f x e ax =--,得'()x f x e a =-.()f x 在R 上单调递增,'()0x f x e a ∴=-≥恒成立,即xa e ≤,x R ∈恒成立 又xa e ≤时,(0,)x e ∈+∞,得0a ≤. (II)'()x f x e a =-,而()f x 在(,0]-∞上单调递减,得0xe a -≤在x ∈(,0]-∞上恒成立,有max x a e ≥, 又当x ∈(,0]-∞时,(0,1]xe ∈ ,得1a ≥ ①又()f x 在[0,)+∞上单调递增,得0x e a -≥在[0,)x ∈+∞上恒成立,有min x a e ≤, 又当[0,)x ∈+∞时,[1,)xe ∈+∞,得1a ≤ ② 由①,②知1a =.(III)由(II)可知(0)f 是()f x 的最小值,有()(0)f x f ≥, 而0(0)010f e =--=,2()(1)11g x x =---≤- 故()()f x g x >,即()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.温馨提示:()()f x g x ≥恒成立时,转化为min max ()()f x g x ≥进行考虑,合情合理.问题4:(I)解:()f x 的定义域是11x -<<,得'2212()lg (2)1f x e x x=--+-0< 所以()f x 在(1,1)-上是减函数.(II)证明:假设存在12,x x 且12x x ≠,使11()0f x -=,12()0f x -=,则有1110lg 0210x -=+++,2110lg 0210x -=+++,于是得1212x x ==,与12x x ≠矛盾! 所以1()0f x -=只有一个实根12x =.(III)解:由(II)得11()02f -=,即1(0)2f =,又11[()]22f x x -<=(0)f而()f x 在(1,1)-上是减函数,得11()]02x x >->,有104x <<或1124x +<<.即11[()]22f x x -<的解集是1117(,2+. 温馨提示:()f x 为增(减)函数⇒'()0f x ≥('()0f x ≤),反之不行. 习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.1,12()log f x x -=,有1222(4)log (4)f x x --=-,2,我们由映射的概念:每一个x ,有唯一的由240x ->,得22x -<< 一个y 与它对应.知,A,B,D.都满足.函数2log y x =为(0,)+∞上的增函数, 而在C 中,M 中的1与tan1对应, 求22log (4)x -的单调减区间, 但tan11>,tan1在N 中找不到了.选C. 即求24u x =-的单调减区间,于是选C.3,设0x >,则0x -<,得()(1)g x x x -=--=()g x -,有()(1)g x x x =-, (1)当0x ≤时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)()(1)x x x x x x -++=-⋅+,解得12x =-,20x =.(2)当01x <<时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)()(1)x x x x x x -+-=-⋅-,无解. (3)当1x ≥时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)(1)x x x x x x +-=⋅-,无解.选B. 4,由(1)(1)0f f -==,(2)(2)1f f -==-,知只有C 正确.5,当a →+∞与a →-∞时,均合题意,而1a =时,1211=,不合题意,选B.6,③④正确.选B. 7,令2xt =,得2log x t =,22()log (log )f x x =,得1x >.8,令1cos t x =-,有cos 1x t =-,22()1cos 1(1)f t x t =-=--,得2()2f x x x =-,x ∈[0,2].9,令2252,u x x =-+-0u >,得122x <<.而它在5(1,]4上递增,在5(,2)4上递减, 而当1(,1)2x ∈时,log x y u =,x ↗,u ↗,y ↘;当5(1,]4x ∈时,x ↗,u ↗,y ↗;当5,2)4x ∈时,x ↗,u ↘,y ↘.于是得递增区间是5(1,]4.10,设2()f x x =,()log a g x x =,由题意,当102x <<时,()f x 的图象总在()g x 的图象的下方.当1a >时,显然不合题意;当01a <<时,必有11()()22g f ≥,211log ()22a ≥,得116a ≥,又01a <<,于是1116a ≤<. 11, 1''2''2(ln )()[(2)]y x x x -=-+-= 3'2112(2)(2)2x x x x ----⋅-=32112(2)2x x x --+-,得'112x k y ===-,有x+2y-1=0.12,解:{23}A x x =-≤≤,而B ≠∅,2{430,}B x kx x k x R =+++>∈,又由题意知0k <,且22k --≤,23k-≤,解得342k -<≤-,故k 的取值范围是3(4,]2--. 温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?13,解:过A,B 两点的直线方程为1y x =+,令221x ax x ++=+,则这方程有两相异实根12,x x ,且12,[0,2]x x ∈.设2()(1)1f x x a x =+-+,则问题等价于21022(1)40(0)0(2)0a a f -⎧<-<⎪⎪⎪∆=-->⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,解得312a -≤<-.所以a 的取值范围是312a -≤<-. 14,解:(I)由()()()f a b f a f b +=+,令a b =-,得(0)()()f f a f a =+-, 又令0a b ==,有(0)2(0)f f =,得(0)0f =,于是()()f a f a -=-,a R ∈. 所以()f x 是奇函数. (II)又0x >时,()0f x <设120x x <<,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-=21()f x x -- 而210x x ->,得21()f x x -0<,有21()f x x --0>,即12()()f x f x > 得()f x 在R 上是减函数,于是它在[3,3]-上有最大值(3)f -,最小值(3)f 而(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)6f f f f f f f =+=++==-,(3)(3)f f -=-=6. 所以()f x 在R 上有最大值6,最小值6-. 15,解:(I)当010x <≤时,22()0.1 2.6420.1(13)59.9f x x x x =-++=--+,得()f x 递增, 最大值为(10)f =59.当1630x <≤时,()f x 递减,()31610759f x <-⨯+=因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟. (II)(5)f =20.1(513)59.953.5-⨯-+=,(20)3201074753.5f =-⨯+=< 因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些. 16,解:(I)'()(2)ax f x x ax e =+. ①当0a =时,令'()0f x =,得0x =.若0x >,则'()0f x >,从而()f x 在(0,)+∞上单调递增; 若0x <,则'()0f x <,从而()f x 在(,0)-∞上单调递减;②当0a <时,令'()0f x =,得(2)x ax +=0,有1220,x x a==-. 若0x <或2x a >-,则'()0f x <,从而()f x 在(,0)-∞,2(,)a -+∞上单调递减;若20x a <<-,则'()0f x >,从而()f x 在2(0,)a-上单调递增;(II)①当0a =时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是(1)1f =;②当20a -<<时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是(1)af e =;③当2a ≤-时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是2224()f a a e-=.。