第二十二章 曲面积分
一、证明题
1.证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积等于 V=
()⎰⎰+β+αS ds r cos z cos y cos x 31其中αcos ,βcos , cpsr 为曲面S 的外法线方向余弦.
2.若S 为封闭曲面,L 为任何固定方向,则
()⎰⎰S
ds L ,n cos =0 其中n 为曲面S 的外法线方向.
3. 证明 公式 ⎰⎰⎰V
r dx dydz =()⎰⎰S ds n ,r cos 21 其中S 是包围V 的曲面,n 为S 的外法线方向. r=222z y x ++,r=(x,y,z).
4.证明: 场A=()(z y x 2yz ++,()z y 2x zs ++, ())z 2y x x y ++是有势场并求其势函数.
二、计算题
1.计算下列第一型曲面积分:
(1) ()⎰⎰++S
ds z y x ,其中S 为上半球面
222z y x ++=2a 0z ≥;
(2) ()
⎰⎰+S 22ds y x
,其中S 为主体1z y x 22≤≤+的边界曲面; (3) ⎰⎰
+S 22ds y
x 1,其中S 为柱面222R y x =+被平面Z=0,Z=H 所截取的P 分; (4) ⎰⎰S
xyzds ,其中S 为平面在第一卦限中的部分.
2.计算⎰⎰S
2ds z ,其中S 为圆锥表面的一部分.
S:⎪⎩
⎪⎨⎧θ=θϕ=θϕ=cos r z sin sin r y sin cos r x D:⎩⎨⎧π≤ϕ≤≤≤20a r 0 这里θ为常数(0<θ<2
π). 3.计算下列第二型曲面积分
(1)
()⎰⎰
-S dydz z x y +dzdx x 2+()dx dy x z y 2+,其中S 为x=y=z=0,x=y=z=a 平成所围成的正方体并取处侧为正向;
(2)()()()⎰⎰+++++S
dxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点中心,边长为2的正方体
表面并取外侧正向;
(3)⎰⎰++S
zxdxdy yzdzdx xydydz ,其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体
表面并取外侧为正向;
(4)
⎰⎰S
yzdzdx ,其中S 是球面,222z y x ++=1的上半部分并取外侧为正向; (5)⎰⎰
++S 222dxdy z dzdx y dydz x ,其中S 是球面()2a x - +()2b y -+()2c x -=R 2并取外侧为正向.
4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x 2+y 2 +z 2=4的内部流过球面的流量
5.计算第二型曲面积分
I=()⎰⎰S
dydz x f +()dzdx y g +()dx dy z h
其中S 是平行分面体(a x 0≤≤,b y 0≤≤,c z 0≤≤)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数,
6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x 2+y 2 +z 2=a 2,z=0的磁通量,
7.应用高斯公式计算下列曲面积分:
(1)
⎰⎰++S sydxdy zxdzds yzdydz ,其中S 为单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (2) ⎰⎰++S
222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是立方体≤0x,y,z a ≤的表面取外侧; (3)
⎰⎰++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 为锥面x 2+y 2 =z 2与平面z=h 所围的空间区域(h z 0≤≤)的表面方向取外侧;
(4) ⎰⎰++S
332dxdy z dzds y dydz x
,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (5) ⎰⎰++S dxdy 2ydzds xdydz ,其中S 为上半球面Z=222y x a --的外侧.
8.应用高斯公式计算三重积分
()dxdydz zx yz xy V
⎰⎰⎰++
其中v 是由0x ≥,0y ≥,1z 0≤≤与≤+22y x 所确定的空间区域.
9.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分
(1)()
⎰+L 22dx z y +()dy z x 22++()dz y x 22+,其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线,它的走向使新围平面区域上侧在曲线的左侧; (2)
⎰++L 22zdz dy dx y x ,其中为22z y +=1,x=y 所交的椭圆的正向; (3)()⎰-L
dx y z +()dy z x -+()dz x y -,其中L 是以A(a,0, 0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向.
10.若L 是平面αcos x +βcos y +zcosr －p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求
⎰βαL z
y x r cos cos cos dz
dy dx 其中L 依正向进行.
11.若r=222z y x ++,计算2r ∇,r
1
∇,()r f ∇,n r ∇(n=3) 12.求u=222z 3y 2x +++2xy －4y+2y －4z 在点0(0,0,0),A(1, 1,1),B(―1,―1,―1)的梯度,并求梯度为零之点.
13.计算下列向量场A 的散度和旋度:
(1)A=()222222y
x ,x z ,z y +++; (2)A=()222x yz
,z x y ,yz x ; (3)A=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛xy z ,zx y ,yz x . 14.流体流速A=()222z
,y ,x 求单位时间内穿过81球面2x + 2
y +2z =1(x>1,y>0,z>0)的流量. 15.设流速A=()c ,x ,y -(c 为常数)求环流量
(1)沿圆周2
2y x +=1,z=0;
(2)沿圆周()22y 2x +-=1,z=0.
三、考研复习题
1.证明:若u ∆=22x u ∂∂+22y u ∂∂+2
2z u ∂∂,S 为包围区域V 的同面的外例,则 (1)⎰⎰⎰∆V udxdydz =⎰⎰∂∂S
ds n u ; (2)⎰⎰∂∂S ds n
u u
=⎰⎰⎰∇⋅∇V udxdydz +⎰⎰⎰∆⋅V udxdydz u 2.设S 为光滑闭曲面,V 为S 所围的区域,在V 上与S 上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明: (1)⎰⎰⎰∂∂V dxdydz x u W =⎰⎰-S uwdydz ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz x
w u ; (2)⎰⎰⎰∆⋅V udxdydz W =⎰⎰∂∂S ds n
u W ⎰⎰⎰∇-V u Wdxdydz ∇⋅. 3.设A=3r r
S 为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S 外,上,内时分别有
⎰⎰S
Ads =0.2π,4π.
4.证明公式:
()⎰⎰ϕ+θϕ+θϕD
cos P sin sin n cos sin m f ϕθϕd d sin
=⎰-π1
1f 2()d u p u m u 222++。