第四章函数的连续性第一节 连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）x x f 1)(=； （2）x x f =)(。

证：（1）xx f 1)(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有0011x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有02011x x x x x x x x ---≤-对任意给的正数ε，取,01020>+=x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时，有 ε<-=-0011)()(x x x f x f 可见)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。

(2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。

2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f xx 1+； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ；（4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ；（6）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7,71解： （1）)(x f 在0=x 间断，由于)1(lim xx x +∞→不存在，故0=x 是)(x f 的第二类间断点。

（2）)(x f 在0=x 间断，由于 1sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x ， 1sin lim )(lim 0-=-=--→→xxx f x x 故0=x 是)(x f 的跳跃间断点。

（3）)(x f 在πn x =间断，),2,1,0( ±±=n 由于0]cos [lim )(lim ==++→→x x f n x n x ππ， 0]cos [lim )(lim ==--→→x x f n x n x ππ故 πn x = 是)(x f 的可去间断点),2,1,0( ±±=n 。

（4）)(x f 在0=x 间断，由于 1sgn lim )(lim 0==++→→x x f x x ，1sgn lim )(lim 00==--→→x x f x x ，故0=x 是)(x f 的可去间断点。

（5）)(x f 在22ππ±=k x ),2,1,0( ±±=k 间断，由于1)(lim 214-=++→x f k x π，1)(lim214=-+→x f k x π，1)(lim 214-=+-→x f k x π，1)(lim 214=+-→x f k x π故 22ππ±=k x ),2,1,0( ±±=k 是)(x f 的跳跃间断点。

（6）)(x f 在0≠x 的点间断且若00≠x ，则)(lim 0x f x x → 不存在，故0≠x 是)(x f 的第二类间断点。

（7）)(x f 在7-=x 及1=x 间断，且7)(lim 7-=+-→x f x ，)(lim 7x f x --→不存在，故7-=x 是)(x f 的第二类间断点。

又因 011sin)1(lim )(lim 11=--=++→→x x x f x x ，1)(lim 1=-→x f x ，故1=x 是)(x f 的跳跃间断点。

3．延拓下列函数，使在 ),(+∞-∞上连续：（1）=)(x f 283--x x ； （2）=)(x f 2cos 3x x-；（3）=)(x f xx 1cos 。

解：（1）当2-=x 时，)(x f 没有定义，而2lim →x 283--x x =2lim →x )42(2++x x =12于是函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,122,28)(3x x x x x F 是)(x f 的延拓，且在 ),(+∞-∞上连续。

（2）当0=x 时，)(x f 没有定义，而0lim →x )(x f =0lim→x 21cos 12=-xx ，于是 函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=0,210,cos 1)(2x x x xx F 是)(x f 的延拓，且在 ),(+∞-∞上连续。

（3）当0=x 时，)(x f 没有定义，而0lim →x )(x f =0lim →x 01cos=xx ，于是 函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1cos )(x x xx x F 是)(x f 的延拓，且在 ),(+∞-∞上连续。

4．若f 在0x 点连续，则f ，2f 是否也在0x 连续？又若f 或2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否连续？解：（1）若f 在0x 点连续，则f 与2f 在0x 连续。

（i ）f 在0x 点连续。

事实上，由于f 在0x 点连续，从而对任给正数ε，存在正数δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ，而 ≤-)()(0x f x f ε<-)()(0x f x f故当 δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ，因此f 在0x 点连续。

（ii ）2f 在0x 点连续。

事实上，由于f 在0x 点连续，从而由局部有界性知：存在0>M 及01>δ使当10δ<-x x 时， 有 2)(Mx f <， （1） 有连续性定义知：对任给正数ε，存在正数2δ，当20δ<-x x 有 Mx f x f ε<-)()(0 （2）先取},m in{21δδδ= ，则当δ<-0x x ，上（1）与（2）式同时成立，因此=-)()(022x f x f )()(0x f x f -)()(0x f x f +⋅≤)()(0x f x f -))()((0x f x f +ε<故 2f 在0x 点连续。

（2）逆命题不成立。

例如设 ⎩⎨⎧-=为无理数为有理数x x x f ,1,1)( ，则f ，2f 均为常数，故是连续函数，但)(x f 在),(+∞-∞任一点都不连续。

5．设当0≠x 时，)()(x g x f ≡，而)0()0(g f ≠，试证f 与g 这两个函数中至多有一个在0=x 连续。

证明：（反证）假设)(x f 与)(x g 均在0=x 连续，则)0()(lim 0f x f x =→，)0()(lim 0g x g x =→，又因0≠x 时，)()(x g x f ≡，于是=→)(lim 0x f x )(lim 0x g x →，从而 )0()0(g f = 这与 )0()0(g f ≠相矛盾。

故f 与g 这两个函数中至多有一个在0=x 连续。

6．证明：设f 为区间I 上的单调函数，且I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点。

证： 不妨设f 为区间I 上的递增函数，于是当I x ∈，且0x x <时，)()(0x f x f <， 从而由函数极限的单调有界定理可知：)0(0-x f 存在 ，且)0(0-x f =)(lim 0x f x x -→)(0x f ≤同理可证 )0(0+x f 存在，且)0(0+x f =)(lim 0x f x x +→)(0x f ≥因此 ， 0x 是f 的第一类间断点。

7．设函数f 只有可去间断点，定义)(lim )(y f x g xy →=，证明g 为连续函数。

证：设 f 的定义域为区间I ，则)(x g 在I 上处处有定义（因f 只有可去间断点，从而极限处处存在），任取I x ∈0，下证)(x g 在0x 连续。

由于)(lim )(00y f x g x y →=且)(lim )(y f x g xy →=（I x ∈），从而对任给正数ε，存在正数δ，当δ<-<00x y 时有2)()(2)(00εε+<<-x g y f x g ，任取),(00δx U x ∈，则必存在),(),(00δηx U x U ⊂。

于是当 ),(ηx U y ∈时，由不等式性质知 2)()(lim )(2)(00εε+≤=≤-→x g y f x g x g xy因此当 ),(00δx U x ∈时，有 ε<-)()(0x g x g ，故)(x g 在0x 处连续。

8．设f 为R 上的单调函数，定义)0()(+=x f x g ，证明函数g 在R 上每点都连续。

证：由于f 为),(+∞-∞上的单调函数，故f 只有第一类间断点，故右极限处处存在。

于是)(x g 处处有定义，任取0x ∈),(+∞-∞，下证g 在0x 右连续。

由于)0()(00+=x f x g =)(lim 0y f x y +→且)(x g =)(lim y f xy +→，（+∞<<∞-x ）从而对任给正数ε，存在正数δ，当δ<-<00x y 时，有2)()(2)(00εε+<<-x g y f x g ，任取),(00δx U x +∈，则必存在),(),(00δηx U x U ++⊂。

于是当),(0ηx U y +∈时，上不等式成立。

由极限不等式性质知 2)()(lim )(2)(00εε+≤=≤-+→x g y f x g x g xy因此当),(00δx U x +∈时，有 ε<-)()(0x g x g ，故)(x g 在0x 处右连续。

9．举出定义在]1,0[上符合下列要求的函数：（1）在31,21和41三点连续的函数； （2）只在31,21和41三点连续的函数；（3）只在),2,1(1=n n上间断的函数；（4）仅在0=x 右连续，其它点均不连续的函数。

解：（1）141131121)(-+-+-=x x x x f ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧---=是无理数。

是有理数；x x x x x x f ),41)(31)(21(,0)( （3）]1[)(xx f =；（4）⎩⎨⎧-=中的有理数。

是中的无理数；是]1,0[,]1,0[,)(x x x x x f。