坐标三角形及其面积
坐标三角形
在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的三角形叫做坐标三角形.坐标三角形是直角三角形.
如图（1）所示,直线()0≠+=k b kx y 与x 轴交于点A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,k b ,与y 轴交于点B ()b ,0,Rt △AOB 就是一个坐标三角形. 正比例函数的图象不存在坐标三角形.
与坐标三角形有关的问题:
（1）已知直线的解析式,求坐标三角形的面积.
（2）求原点O 到直线的距离,即求坐标三角形斜边上的高.（等积法） （3）已知坐标三角形的面积,求直线的解析式.
在图（1）中,因为点A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,k b 、B ()b ,0,所以
b OB k b k b k b OA ===-=,, △AOB 的面积为k
b OB OA S AOB 2212
=⋅=∆. 于是得到下面的结论:
在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的坐标三角形的面积为
k
b S 22
=.（只用于解决选择题和填空题,以及某些解答题答案的检验）
图（1）坐标三角形
图（2）
在解决关于坐标三角形的问题时,应注意分类讨论思想的应用.
习题1. 直线4+-=x y 与两条坐标轴围成的三角形的面积为_________.
习题2. 若直线b x y +-=2与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则b 的值为【 】 （A ）4 （B ）4- （C ）4± （D ）2±
分析:使用坐标三角形的面积公式k b S 22
=解决问题.
解:由题意可知:
1222
=-b ,解之得:2±=b . 习题3. 已知直线32
1
-=
x y . （1）求该直线x 轴、y 轴的交点坐标; （2）求该直线与两条坐标轴围成的三角形的面积.
习题4. 已知一次函数42+=x y .
（1）在如图（2）所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象; （2）求图象与x 轴的交点A 的坐标,与y 轴的交点B 点的坐标; （3）在（2）的条件下,求△AOB 的面积.
习题5. 一次函数34
3
+=x y 的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为________.
习题6. 原点O 到直线34
3
+=x y 的距离为_________. 习题7. 如图（3）所示,直线343
+=x y 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B.
（1）求△AOB 的面积; （2）求原点O 到该直线的距离.
习题8. 作出函数43
4
-=x y 的图象,并回答下面的问题: （1）求它的图象与x 轴、y 轴所围成图形的面积; （2）求原点到此图象的距离.
习题9. 在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫做此一次函数的坐标三角形.例如,如图（4）所示,△AOB 就是坐标三角形.
（1）求函数
34
3+-=x y 的坐标三角形的三条边长;
图（3）
（2）若函数b x y +-=43
（b 为常数）的坐标三角形的周长为16,求此坐标三角
形的面积.（提示:根据b 的符号分类讨论）
习题10. 已知直线6+=kx y 与两坐标轴所围成的三角形的面积是24,求常数k 的值.
图（4）。