MD P 2a RA a 2.4kN m
MD P 2a RA a m
M E RB 0.5 q 0.5 2 / 2 1.25kN m
1.2kN m
MB 0
m=3.6kNm P＝3kN
x C
A RA
q=10kN/m
例7
外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。
m=3.6kNm
P＝3kN
x C
A RA
q=10kN/m
D E
2a=1。2m
解得
B
RB
RB P 2qa R A 5kN
由
a=0.6m
a=0.6m
Y 0
解： （1）求梁的支座反力 由 mA 0
P RA RB 2qa 0
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
（１）在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同 (2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等 于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max maxຫໍສະໝຸດ F Fl例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
1 FAy FBy ql 2
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) FAy qx 1 ql qx 2
（0<x<l）
Me x (0≤x≤a) l
M ( x ) FAy x
CB段：
M ( x) FAY x Me Me x M e (a<x≤l) l
3.绘出剪力图和弯矩图
• 力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图 有突变（荷载逆时针转向，向上突变，突 变量等于荷载的大小）。
• 口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。 弯矩图 力偶荷载有突变。
q＝5kN/m
A
19.75kN
2kN
C
8m
B
1m 2kN
（ Q）
+
x=3.95m
-
+
20.25kN 2kNm
（ M）
+
39kNm
D E
2a=1。2m
a=0.6m
a=0.6m 7kN
根据 QB－ ＝－5kN QC＋ ＝－3kN 、 B QA ＋ ＝ 7kN 、 QA － ＝－ 3kN 、 QD ＝ 7kN 的对应值便可作出图 (b) 所示的剪力图 。可见， 在AD段 Qmax 7kN RB 剪力最大，
根据 MC ＝0、 MA ＝－1.8kNm MB ＝0 、ME ＝1.25kNm、
Fb Fa FAy , FBy l l 2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ ( x) FAy Fb l
Fb l
（0<x<a） (0≤x≤a)
M ( x) FAy x
CB段：
Fb Fa F l l Fa M ( x) FAy x F ( x a) (l x) l FQ ( x) FAy F
2.弯矩图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。
d 2 M ( x) (2)当q(x)朝下时， 2 q( x) 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M ( x) 当q(x)朝上时， dx2 q( x) 0 M图为上凸下凹。
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。 (4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ 图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。 (3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有 极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、 负号的截面，弯矩也具有极值。
(a<x<l) (0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
Q图
经分析可得出：剪力、弯矩 随荷载变化的规律 无 荷 载 区 段：剪力图水平 线；弯矩图斜直线（剪力为 正斜向下，倾斜量等于此段 剪力图面积）。 集中荷载作用点：剪力图有 突变（突变方向与荷载方向 相同，突变量等于荷载的大 小）；弯矩图有尖点（尖点 方向与荷载方向相同）。
例题５ 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分 关系作此梁的剪力图和弯矩图。 解： 1. 求约束反力
FAy 15kN, FBy 15kN
2. 画FQ图 各控制点处的FQ值如下： FQA右=FQC左=15kN FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN FQD=5kN F QB左=－15kN 3. 画M图 MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－ 10kN×2m=40kN.m MD右= 15kN×4m－ 5kN×4m×2m=20 kN.m MB=0
1 2 1 1 2 M ( x) FAy x 9 x qlx qx 2 2 2
3.作剪应力图和弯矩图 最大剪力发生在梁端，其值为
F Q max
1 ql 2
最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax
1 2 ql 8
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方 向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。 这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。 绘图时一般规定正号的剪力 画在x轴的上侧，负号的剪力画 在x轴的下侧； 正弯矩画在x轴下侧，负弯矩 画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。
M E 15kN 3m 5kN / m 3m 22.5kN · m 3 m 2
例题6 一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关 系作此梁的FQ、M图。
解：1.求约束力
FAy 5kN, FBy 13kN
2.画内力图 (1)剪力图。 ACB段： FQ图为一水平直线 FQA右=FQC=FQB左=－5kN BD段：FQ图为右下斜直线。 FQB右＝ FQB左+13=8kN FQD=0 (2) 弯矩图 AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线 MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m CB段： FQ<0,故M图为一右上斜直线， BD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸 在C处弯矩有突变。 抛物线， MC右=－5kN×2m+12kN.m MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m MB=－8KN.m，MD=0
＋
－
（Q）
－
MD＋ ＝－1.2kNm 、 MD－ ＝2.4kNm 的对应值便可作 5kN 出图(c)所示的弯矩图。由图可 见，梁上点D左侧相邻的横截面 上弯矩最大，
3kN 1.8kNm
－ ＋ 2。4kNm ＋ 1.25kNm 1.2kNm
（ M）
M max M D 2.4kN m
例8 试画出图示梁的内力图。
一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。 例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此 梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
M ( x) Fx
解得
RA 1 m 4 P 2qa 10kN 3 a

1 2 P 5a RB 3a m q2a 0 2
（2）画内力图： CA段: q=0， 剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。
QC QA P 3kN
DB段:q<0, 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。
M C 0
M A P a 1.8kN
QB RB 5kN Qx RB qx 0 x 2a

令： Qx 0
AD段:q=0,剪力图为水平直线；
弯矩图为斜值线。
x R q 0.5m
B
M A P a 1.8kN
QA QD P RA 7kN
口诀表述：剪力图 没有荷载 水平线，集中荷载有突变。 弯矩图 没有荷载斜直 线, 集中荷载有尖点。
M图
图三
例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力
Me Me FAy , FBy l l 2.列剪应力方程和弯矩方程
AB段：
Me FQ ( x) l AC段：