定理7：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。
定理8：若1 , 2 , , s是矩阵A的互不相同的特征值， 1i ,2i , ,tii是A的属于特征值i的线性无关的特征向量，则 11,21 , ,t1112,22 , ,t2 2 1s ,2 s , ,ts s 线性无关。
31
特征子空间
定义：设f Hom(V ,V ), 0是f 的特征值。称
V0 V | f () 0
为 f的相应于特征值 0的特征子空间。
dimV0 =线性变换 f 的属于特征值 0 的
线性无关特征向量的个数。
32
可对角化的条件
假设 dim V n ， f Hom(V , V ) 的特征多项式为
,
1 1 f (X ) 1 1 X
求f的特征值、特征向量。
10
特征多项式的计算
定义： 假设矩阵 A aij

nn
， 第1 i1 i2 ik n
行，则 A 的第 i1 , i2 ,, ik 行，第 i1 , i2 ,, ik 列交 叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的一个 k 阶 主子式。
则下述条件是等价的： 1. f是可对角化的；
2.i， dimVi ri ;
3.V V1 V2 Vs
36
例10
f Hom(C
22
,C
22
)定义为： X C
22
,
1 f (X ) 2
1 X 2
1.求f在基E11 , E21 , E12 , E22下的矩阵；
24
例5
1 2 2 已知A 1 0 3 ，求A100。 1 1 2
C( ) ( 1)( 1)
2
化零多项式 设f ( x)是多项式。若f ( A) O,
则A 的特征值均是f ( x) 0的根.
25
最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
30
线性变换的可对角化问题
假设V 是n维线性空间，f Hom(V ,V ).
定理9：f 可对角化 f 有n个线性无关的特征向量。
定理10 : f 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
定理11：若1 , 2 , , s是线性变换f 的互不相同的特征值， 1i ,2i , ,tii是f 的属于特征值i的线性无关的特征向量，则 11,21 , ,t1112,22 , ,t2 2 1s ,2 s , ,ts s 线性无关。
求f的特征值及相应的特征子空间的基 。
34
定理12
设f Hom(V，V )的特征多项式是C ( ) ( i ) ri ，
i 1 s
则 dim Vi ri .
35
定理13
设f Hom(V , V )的特征多项式是C( ) ( i )ri ，
i 1 s
18
例4
3 4 1000 设A 3 5 .求A .
C( ) 2 3
2
19
例5
1 2 2 100 已知A 1 0 3 ，求A 。 1 1 2
C( ) ( 1)( 1)
2
20
最小多项式
定义：（线性变换的最 小多项式）
21
定理5
设m( x), C ( x)分别是矩阵A的最小多项式和特征多项式， 则m( x) | C ( x)，并且，对0 C, m(0 ) 0 C (0 ) 0。
22
例6
求下列矩阵的最小多项 式： a a 1 a 1 a a 0 , a 1 , a a a
是 f 的属于特征值 0 的特征向量
当且仅当 x0 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
7
定理1
若A, B C 是相似的，则I A I B .
nn
注： 1.定理的逆命题不成立；
2.可定义线性变换的(V ,V )在基1 , 2 ,, s下的矩阵是A, ' (1' ,2 ,, s' ) (1,2 ,, s )P 则f 在新的基
26
例7
a1 b1 a2 b2 设 , , A H .求A的最小多项式。 a b n n
27
例8
f Hom(C 22 , C 22 )定义为：X C 22 ,
i 1 n
bn (1)n A.
14
矩阵的迹
定义：设A (aij )nn , 称 aii为A的迹，记为tr ( A).
i 1 n
命题：若 A (aij )nn的特征值为 1, 2 ,, n , 则
tr ( A) i ,
i 1 n
A i .
i 1
下的矩阵是
B P 1 AP.
8
例1
f Hom(C 3 , C 3 )定义为： X ( x, y, z)T ,
x y f (X ) x y 2z
求f的特征值、特征向量。
9
例2
f Hom(C
22
,C
22
)定义为： X C
22
例3
I A b1 b2
n n1
n 2
bn1 bn
16
特别地，b1 aii ,
i 1
n
bn (1)n A.
化零多项式
设f ( x)是多项式。若f ( A) O, 则A的特征值均是f ( x) 0的根.
例：已知A A.证明：
a22 a32 a52
a24 a34 a54
12
主子式与子式
a11 a21 a31 a41 a 51 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54 a15 a25 a35 a45 a55
23
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A F nn , C() I A .则C( A) O.
定理4：设f Hom(V ,V ), C( )是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur 引理：对A C nn , 存在酉矩阵 U使得U H AU是上三角矩阵。
1 1 f (X ) 1 1 X
求f的最小多项式。
28
第三节 可对角化的条件
目的： 对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵； 对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在 空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。
29
已知的判别方法
定理6：n n矩阵A相似于对角阵 A有n个线性无关的特征向量。
则称 0 是 A 的特征值，
是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
3
矩阵的相似对角化
假设 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的 充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 特征向量。
4
线性变换的特征值、特征向量
设 f 是线性空间 V 上的线性变换，假设
0 F ， V 。若
2
A的特征值只能是0或1。
17
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A F nn , C() I A .则C( A) O.
定理4：设f Hom(V ,V ), C( )是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur 引理：对A C nn , 存在酉矩阵 U使得U H AU是上三角矩阵。
C() ( 1 )c1 ( 2 )c2 ( s )cs
则存在 V 的基使得 f 的矩阵是对角阵的充分必要条件是
dimV1 dimV2 dimVs n
33
例9
f Hom(C
22
,C
22
)定义为： X C
22
1 1 , f (X ) 1 1 X
第三章
矩阵的相似标准形
1
矩阵与线性变换
本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一 组基，使得线性变换的矩阵最简单。
2
第一节 特征值与特征向量
假设 A 是 n 阶方阵， 0 是数，若存在 n 维 列向量 ，使得
， 且 A 0
a22 a32 a52
a23 a33 a53
a25 a35 a55
13
特征多项式的计算
定理2：设A aij
nn
,则
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
其中，bj (1) j （A的j阶主子式）
特别地，b1 aii ,
11
主子式与子式
a11 a21 a31 a41 a 51 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54 a15 a25 a35 a45 a55
a21 a31 a51
性质1：若m( x), ( x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式， 则m( x) | ( x). 性质2：任意矩阵的最小多项 式是唯一的
性质3：如果矩阵 A, B相似，则A, B有相同的最小多项式。
定义：（线性变换的最 小多项式）
设m( x), C ( x)分别是矩阵A的最小多项式和特征多项式， 则m( x) | C ( x)，并且，对0 C, m(0 ) 0 C (0 ) 0。
n
推论：若 A, B相似，则 tr( A) tr(B), A B .