记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵： 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵： 元素是的多项式的矩阵 如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者 说是 f(x)在 x = A处的值
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§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换， 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
例2.4 求矩阵
的初等因子组.
Hint： - 2, ( - 1)2
cf. Mathematica示例
例2.5 求矩阵
的Smith标准形.
cf. Mathematica示例
14
§2.2－3 初等因子的求法例2.6 求矩阵的初等因子组. 解：由于
分别求的初等因子组，合并即得…
cf. Mathematica示例
例2.10 求矩阵A的Jö rdan标准形的有理标准形，其中
Hint: 把 A写成分块矩阵的形式： 子分别为 i和 – 2, + 1 , + 1.
，则A1, A2的初等因
cf. Mathematica示例
数字矩阵： 元素是数的矩阵
3
§2.1－1
方阵的特征矩阵
1) A有一个 r 级子式不等于零的充分必要条件是r(A) r 关于mn的数字矩阵A的秩 ，有一个重要结论 2) A的所有r+1级子式等于零的充分必要条件是r(A) r 定义2.1 对任意的-矩阵A()K[]mn，如果A()有一个 r 级子式非零，而所有r+1级子式等于零，则称A()的秩 为r，记作 rank A() = r . ( 1 r min{m, n} ) 定义2.2 设 A()K[]nn, 如果| A() | 0, 则称 A()是满 秩的或非奇异的. 定义2.3 设 A()K[]nn，若有B()K[]nn使得 A() B() = B() A() =E , 则称 A() 是可逆的或单模态的.
Sketch of the proof: 不妨设A()非零，设G()是所有与A()等价的 中，(1,1)位置元素次数最低的一个矩阵，则 g11 ()| gij () ( i, j)， 把G()化为准对角形，再用数学归纳法… ( 关键是找G() )
7
§2.1－2 特征矩阵的Smith标准形
对任意方阵 A，它的特征矩阵 E – A是满秩的， 但不是可逆的-矩阵.
5
二、特征矩阵的Smith标准形
-矩阵的三类初等行(列)变换
表示方法：[i,
j], [i(k)], [i + j· )] (标在箭头上方/下方) (
初等矩阵的定义，初等矩阵的基本性质
初等变换与初等矩阵的相互关系
定理2.10 设ACnn，若特征矩阵 A的非常数的不变 因子为 则
A~ C = diag (C1, C2, …, Cs), 其中Ci是 i ()的相伴矩阵. (有理标准形及唯一性)
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§2.3-3 有理标准形
Jö rdan标准形由初等因子确定；有理标准形由不变因子 确定，因而任何实矩阵都存在有理标准形；在不计有理 块 Ci 顺序的情况下，有理标准形 C由 A唯一确定.
第二章
内容提要：
矩阵的相似标准形 (10学时)
多项式矩阵及其性质；
特征矩阵、特征多项式、特征值、特征向量；
初等变换、等价； Smith标准形、不变因子、行列式因子、初等因子； 零化多项式和最小多项式及其计算方法； 矩阵的相似、矩阵相似的条件； Jö rdan标准形、有理标准形； 正规矩阵及其性质； Hermite矩阵、酉矩阵的酉对角化方法，Hermite二次型 的标准形及分类法.
不变因子与行列式因子的相互关系
行列式因子的唯一性
不变因子的唯一性 Smith标准型的唯一性
9
设
ACnn , A的不变因子与行列式因子即 的...
§2.2－1
行列式因子
例2.2 利用行列式因子求特殊矩阵A()的Smith标准型：
Hint: 先求出 A() 的行列式因子： Dn() = det A() = n + a1 n-1 ++ an-1 + an , 和 Dn-1() = Dn-2() = = D1() = 1, …
定理2.4 对任意 AC mn, 其特征矩阵 A的Smith标准 形S() = diag ( d1(), d2(), …, dn() )中, 所有di()都是非 零多项式. 称di()为 A的第i个不变因子, i = 1, 2, …, n. 例2.1 设 A= 求 A的Smith标准形和不变因子. 提 示 第一步：使左上角元为次数最低者 第二步：化为准对角形 结果： diag (1, -1, ( -1) ( + 2) ) cf. Mathematica程序示例
cf. Mathematica示例
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§2.2－2 二、初等因子
定义2.7 设d1(), d2(), …, dn()是EA的n个不变因子， 在C上将每个di()分解成一次因式的方幂之乘积： 此处 i=1, 2,…, n, j=1, 2,…, t, kij为非负整数，对应kij>0的 那些因式统称为 的初等因子， 的全部初等因 子称为的初等因子组(相同时重复计数).
结论1 对角形-矩阵的初等因子：分解对角线元素即可 结论2 准对角形-矩阵diag (A1(), A2(), …, Ar() )的初 等因子组即A1(), A2(), …, Ar()的全体初等因子
结论3 若fi(x)都与gj(x)互素( i, j = 1,2 )，则下面矩阵等价
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§2.2－3 初等因子的求法
1
§2.1 特征矩阵及其Smith标准形
一、方阵的特征矩阵 特征矩阵：
E–A=
, 此处，A=(ai j)nn
特征多项式：f()=| E – A|= n+ a1 n-1 + + an-1 + an 其中，a1= -tr A= -(a11+ a22+ + ann), an=(-1)n |A|
必要性易，充分性很难，参见北大编《高等代数》 pp342-344
例2.7 证明矩阵A与J相似，其中
Hint: A与J的初等因子组均为 – 2，( –1)2---再用Th2.6, Th2.7
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§2.3 二、Jö rdan标准形
矩阵的等价标准形 (等价类的代表) 之存在唯一性较为简 单，但方阵的相似标准形就复杂了，只能退而求其次.
按上述约定和构造方法，在不计Jö rdan块顺序的情况下， J 唯一确定，称J为A的Jö rdan标准形. Question: 为什么在C中考虑？

定理2.9 ACnn能对角化A的初等因子都是一次的.
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§2.3-2 Jö rdan标准形
例2.8 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
K[]mn中矩阵的等价关系满足自反性、对称性和传递性
定理2.2 若A()B()，则rank A() = rank B().
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§2.1－2 特征矩阵的Smith标准形
定义2.5 若n阶对角矩阵 S() = diag (d1(), d2(), …, dn() ) 中，每一个非零的di()都是首1多项式, 且di() |di+1() ， ( i = 1, 2, …, n-1)，则称S()是一个Smith标准形或法对角 形 （-矩阵的标准形）
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§2.1－1
方阵的特征矩阵
学习-矩阵的基本方法是： 由于-矩阵与数字矩阵在基本概念、基本性质、基 本操作和主要结论等方面有很多的共同点，因而只需了 解它们相同与不同的地方，即求同存异.
定理2.1 (1) 若A()Knn可逆，则 A()非奇异；反之不真. (2) A()Knn可逆的充分必要条件是det A()等于非 零常数c.
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§2.2 行列式因子与初等因子
一、行列式因子 定义2.6 设 ACnn , 1 k n, 中一切k阶子式的首 一最大公因式称为 的k阶行列式因子，记作Dk ().
由定义知， Dk ()由唯一确定 (1 k n)
定理2.5 初等变换不改变 的各阶行列式因子.
三组因子 的 相互关系 不变因子 行列式因子 初等因子
例2.3 设A为4阶方阵，如果 的初等因子为 , 2, + 1, 求 的Smith标准型.
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§2.2－2
初等因子