突破18天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算
一、天体表面上的重力加速度问题
重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg ＝GMm
R
2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。
计算重力加速度的方法
(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G
mM R 2，得g ＝GM
R 2(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝
GmM R ＋h
2
，得，g ′＝GM R ＋h
2
所以g
g ′＝
R ＋h 2
R 2
(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．
【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。
若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为(
)
A ．0 B.GM R ＋h 2
C.
GMm R ＋h
2
D.
GM h 2
【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v ′在火星表面附近环绕火星飞行。
若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。
设火星与地球表面的重力加速度分别为g ′和g 。
下列结论正确的是(
)
A ．g ′∶g ＝1∶4
B ．g ′∶g ＝7∶10
C ．v ′∶v ＝
5
28D ．v ′∶v ＝
514
【典例3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。
已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。
由此可知，该行星的半径约为(
)
A.1 2R
B.7
2
R
C．2R D.7
2
R
【跟踪短训】
1．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。
若他在某星球表面以
相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地。
已知该星球的半径与地球半径之比为R
星
∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。
则() A．g′∶g＝5∶1B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20D．M星∶M地＝1∶80
2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)()
A.1
4
B．4倍
C．16倍D．64倍
3.热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示。
根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为()
月球半径R0
月球表面处的重力加速度g0
地球和月球的半径之比R
R0＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比g
g0＝6
A.3∶2B．2∶3
C．4∶1D．6∶1
4．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。
假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。
那么，一个在地球表面能举起64kg物体的人，在这个行星表面能
举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g＝10m/s2)()
A．40kg B．50kg
C．60kg D．30kg
5．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。
电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们
看到了迄今最真实的黑洞模样。
若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足M
R＝
c2
2G
(其中c
＝3×108m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度约为() A．108m/s2B．1010m/s2
C ．1012m/s 2
D ．1014m/s 2
6.假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。
一矿井深度为d ，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。
矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(
)
A ．1－
d
R B ．1＋
d R
7.月球是离地球最近的天体，已知月球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，若忽略月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，下列叙述正确的是(
)
A ．把质量为m 的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为GMm R 2
B ．以初速度v 0竖直上抛一个物体，则物体经时间2πR
GM
落回原处C ．把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地
D ．用长为l 的细绳拴一质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则小球的最小动能为GMml 2R 2
二、中心天体质量和密度的估算
(1)“g 、R 法”：已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。
①由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝g R 2
G 。
②天体密度ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3g
4πGR 。
(2)“T 、r 法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。
①由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3
GT 2。
②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3πr 3
GT 2R
3。
③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π
GT 2
可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。
【典例1】假设地球可视为质量均匀分布的球体。
已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G 。
地球的密度为(
)
A.3πGT 2g 0－g g 0
B.3πGT 2g 0g 0－g
C.
3πGT 2
D.
3πGT 2g 0g
【典例2】利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【跟踪短训】
1.“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。
已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km。
利用以上数据估算月球的质量约为()
A．8.1×1010kg B．7.4×1013kg
C．5.4×1019kg D．7.4×1022kg
2.“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为()．
A．8.1×1010kg B．7.4×1013kg
C．5.4×1019kg D．7.4×1022kg
3．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()．
A.mv2 GN B．mv4
GN
C．Nv2
Gm D．Nv4
Gm。