求天体的加速度、质量、密度一．知识聚焦 1.加速度：表面上 mg Mm G =2R得2g R GM=非表面 ()ma R MmG=+2h 得)(2R a h GM +=万有引力与航天 ）基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星r mv rMm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径)22ωmr rMm G = G r M 32ω= (已知角线速度与半径)22)2(T mr rMm G π= G T r M 232)2(π= (已知周期与半径)总结：线速度vr ，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M 。
或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。
二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星R mv RMm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径)22ωmR RMm G = G R M 32ω=(已知角线速度与半径) G πωρ432=（已知角速度）22)2(T mR R Mm G π=(已知周期与半径) 已知周期)任何因数都无关。
三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力mg h R MmG =+2)( G h R g M 2)(+= (已知某高度处的重力加速度与距离)四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力mg RMmG =2 G gR M 2= (已知中心天体表面的重力加速度与半径)GRgπρ43=训练题（真题）1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221gt y =设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21(L vt gt =+ ○1当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21(L vt gt =+ ②在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2RMm③联立以上三个方程解得22332Gt LR M =而天体的体积为334R V π=，由密度公式VM=ρ得天体的密度为R Gt L 223πρ=。
2某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N ，把此物体放在航天器中，若航天器以加速度2ga =（g 为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N ，忽略地球自转的影响，已知地球半径R ，求此航天器距地面的高度。
解析：物体在地球表面时，重力为=mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有2RGMmmg =②图21在距地面某一高度h 时，由牛顿定律得ma g m F N ='- ③根据万有引力定律，得2)(h R GMmg m +=' ④①②③④式并代入数据解得R h 3=。
1、 已知地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，引力常量为G 。
可求得地球的平均密度ρ=________。
答案 3g /4πGR【解析】 由mg =G2RMm 和ρ=334R MV M π=得ρ=GR g π43。
1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量由mg=G 2RMm得 G g R M 2=.（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径．）2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得222224Tmr mr r v m r Mm G πω===若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体的质量为G r GT r G rv M 3223224ωπ===1.下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径rC.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r[解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B 项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由22ωmr rMm G =可以求出中心天体地球的质量，所以C 项正确．由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2324GTr M π=，所以D 项正确 2. 2010·全国卷Ⅱ·21已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。
若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为A ．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时 【答案】B【解析】地球的同步卫星的周期为T 1=24小时，轨道半径为r 1=7R 1，密度ρ1。
某行星的同步卫星周期为T 2，轨道半径为r 2=3.5R 2，密度ρ2。
根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有1211213111)2(34r T m r R Gm ππρ=⨯2222223222)2(34r T m r R Gm ππρ=⨯ 两式化简得12212==T T 小时 3. (2009届山东邹城二中高三模拟)2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走。
已知神舟七号飞船在离地球表面h 高处的轨道上做周期为T 的匀速圆周运动，地球的半径R ，万有引力常量为G 。
在该轨道上，神舟七号航天飞船（.BCD ） A ．运行的线速度大小为TRπ2 B ．运行的线速度小于第一宇宙速度C ．运行时的向心加速度大小22)(4T h R +π D ．地球表面的重力加速度大小为2232)(4R T h R +π4.(05天津理综21)土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm 到10 m 的岩石、尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从7.3×104km 延伸到1.4×105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h,引力常量为6.67×10-11N ·m 2/kg 2,则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用） ( ) A.9.0×1016kg B.6.4×1017kg C.9.0×1025 kgD.6.4×1026kg答案 D解析 由万有引力作用提供向心力得222π4Trm r GMm = 所以M=211382232)600314(1067.6)104.1(π4π4⨯⨯⨯⨯⨯=-GT r=6.4×1026kg5.（09·全国Ⅰ·19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。
这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。
已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m 2/kg 2,,由此估算该行星的平均密度为（ D ）A.1.8×103kg/m 3B. 5.6×103kg/m3C. 1.1×104kg/m 3D.2.9×104kg/m 3解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供2224T R m R Mm G π=,可求出地球的质量.然后根据343RMπρ=,可得该行星的密度约为2.9×104kg/m 3。
6、（06北京卷）24 .一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。
认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量CA.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量7. 北京市昌平一中高三年级第二次月考有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（ D ） A.41； B.4倍； C.16倍； D.64倍。
8.(05北京理综20)已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出 （ ）A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81∶4 答案 C 解析 ①33π34r m r m m ∝==ρρ得V∴6481)41(81)(33=⋅==地月月地月地r r m m ρρ ②由mg=22r Mr GMm ∝g 得 ∴1681)41(81)(22=⋅=⋅=地月月地月地r r M M g g ③由mg=mr gr T T∝得22π4 ∴9881164=⨯=⋅=地月月地月地g g r r T T ④由rM∝=v rv 得22m r GMm ∴294181=⨯=⋅=地月月地月地r r M M v v 9.(04北京理综20)1990年5月,紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星,该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体,小行星密度与地球相同.已知地球半径R=6 400 km,地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为 ( ) A.400gB.4001g C.20g D.201g答案 B解析 质量分布均匀的球体的密度ρ=3M/4πR 3地球表面的重力加速度：g=GM/R 2=34ρGR π 吴健雄星表面的重力加速度：g ′=GM/r 2=34ρGr π g/g ′=R/r=400,故选项B 正确.10．湖南省长沙市一中2010届高三第五次月考随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其它星球成为可能。