加法定理的推广
P(AU BU C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
A
B
C
加法定理的推广
对任意 n 个事件 A1, A2 ,L , An ，有
n
n
U P( Ak ) P(Ak )
P( Ai Aj ) L
盒子中，其球在盒子的分布总数为 (r 1)n j ，因而有利于 B 的样
本点数为

n j

(r

1)n
j
.最后得到
PB


n j

(r

1)n

j
rn
.
古典概率的计算：生日问题
某班有30 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 （一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）
例3 女士品茶问题. 一味常饮牛奶加茶的女士称：她能从一 杯冲好的饮料中分辨出先放茶还是先放牛奶。并且她在10次 实验中都能正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 解 假定该女士的说法不可信，她是蒙对的，
则每次蒙对的概率是0.5，于是10次都能蒙对的概率
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
第二步 计算事件包含的样本数
第一次取次品有30种可能，第二次次品29种，A有m＝30 ×29
第一次取次品有30种可能，第二次正品70种，B有m＝30 ×70
P( A)

m n

30 29 100 100

0.088.
P(B) 1300017000＝0.21.
小概率事件 ——
若P(A) ≤ 0.01 , 则称A为小概率事件.
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观 相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第五个学生抽到入场 券}的概率。
基本事件总数 n 10!
第五个学生抽 到入场券
有利于A的基本事件数 mA C31 9!
另外9个学生抽 取剩下9张
P( A) mA C31 9! 3 n 10! 10
例4 某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 求同学甲抽到门票的概率.
解：制作 20 张外观无差异的纸签， 其中三张代表门票。 20 个同学抽签共有 20！种方式，
同学甲抽到门票有 C31 种抽法，
其它同学抽取余下的签有 19！种方式。
原来不必 争先恐后！
故所求的概率是：PA

319! 20!
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
第三节 几何概型
第三节 几何概型
几何概型 保留等可能性，允许试验的结果有无限多个
设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区
域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内
的概率为
P(
A)

G的测度 的测度
如样本空间为数轴上的区间，则 表示区间长度； 如样本空间为平面上的区域，则 表示区域面积；
10分钟
7:25 7:30 10分钟
7:00
7:15
7:30
P(等待超10分) 10 1 30 3
第四节 概率的公理化定义
第四节 概率的公理化定义
.
给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于 任意一个 事件Ａ，赋予一个实数 P( A) ，如果 P() 满足下列三条公理， 那么，称 P( A) 为事件Ａ的概率．
k 1
k 1
1i jn
(1)k1
P( Ai1 L Aik ) L (1)n1 P( A1...An )
1i1 i2 ...ik n
例8 已知P(A)＝0.9，P(B)=0.8，试证：P(AB) 0.7
解：由性质5得： P(AU B) P(A) P(B) P(AB) 且 P(AU B) 1 即 0.7 0.8 P(AB) 1
m n
古典概型的计算步骤
1、确定试验的基本事件总数
2、确定事件A包含的基本事件数
3、代入公式求概率
P(
A)

有利于A的样本点数 样本点总数

m n
难点：确定事件的个数需要理顺事件，还需要排列组合的知识。 不是重点，只要求会常见的几类问题
排列组合有关知识复习
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地(有放回地） 取
i 1
i 1
i 1
i n 1
n
P( Ai ) i 1
性质3 逆事件的概率
P( A) 1 P( A)
A
A
性质4 差事件的概率
若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)且P(A) ≤P(B)
BA
B AU (B A)
AI (B A)
P(B A) P(B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有A B P(A B) P() 0
P(B A) P(B) P(A) 0.3
例 10 据资料获悉某市居民私房拥有率为 63% ，私车拥有率为 27%，而既无房也
无车的占 30%，求任意抽查一户，恰为既有房又有车的概率. 解 分别记事件
fn
(
A)

事件A出现次数m 试验总次数n
频率=概率 吗？频率有什么规律？
抛掷硬币的试验
历史纪录
抛 掷 次 数 出现正面的次数 试验者
n
m
德.摩 根
2048
1061
蒲丰
4040
2048
皮尔逊
12000
6019
皮尔逊
24000
12012
维 尼 30000
14994
出现正面的频率 m/n 0.518
(B) P(AU (B A)) P(A) P(B A)
P (B － A) = P(B) － P(A)
推广 对任意两个事件A, B, 有
P(B A) P(B) P( AB)
A
AB
B=AB+(B – A)
B – AB=B-A B
P(B)=P(AB)+ P(B – AB)

P An P( An ) n1 n1
第二节 古典概型
第二节 古典概型
定义 如果试验具有下面两个特征： 有限性 试验的所有可能发生的结果只有有限个 等可能性 每一种可能结果发生的可能性相同
则称次试验为古典概型
P(
A)

有利于A的样本点数 样本点总数

所以，由以上可证命题成立。
例9 已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A) (1) 事件A,B互不相容
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于AB ,因此 A B A, B A B
P(A B) P(A) 0.3
例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是 整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率
分析 打开收音机时，位于一天中任意两个整点之间的概率 是相等的，不妨设打开时位于9点到10点之间。
在9点到10点之间任意时刻都是等可能的，所以样本空 间是60分钟。而只有在9:50-10:00之间，他等待报时的时间 短于十分钟，即时间对应的区间长度是10分钟。

3 20
例5 (占位问题) n个球随机落入r 个不同的盒子中(n≤r)，
假设每个盒子足够大，容纳的球数是不限的，于是n个球
在r 个盒子中的分布(一共有rn种)是等可能的，求：
(1) 没有一盒有超过1个球的概率；
.
(2) 每一盒恰好有j个球的概率(1≤j≤n) ；
解 记问题（1）、（2）涉及的随机事件分别为 A , B .
第二章 事件的概率
第一节、 概率的概念 第二节、古典概率 第三节、几何概型 第四节、概率的公理化定义结
第一节 概率的概念
随机试验的结果虽然不确定，但其某一种结果的可 能性是有规律的，可研究。称事件A发生的可能性的大小 为事件A的概率
做一个随机试验：抛掷一枚均匀的硬币 设将硬币抛掷n次，出现正面m次。
性质5 加法定理
对任意两个随机事件Ａ、Ｂ ，有 P(AU B) P(A) P(B) P(AB)
A
B
AU B AU (B A)
B ABU (B A) AI (B A) ABI (B A)
P(AU B) P(A) P(B A)
P(B) P(AB) P(B A)
解: 容易验证满足古典概型的要求 记A={两件都是次品}， B ={第1件次品，第2件正品}.
有放回情况：
第一步 计算样本点总数
每次抽取均有100种可能结果， 依原理，一共有n＝100 × 100＝10,000种可能结果 第二步 计算事件包含的样本数
因为有30件次品，每次抽取到次品均有30种可能结果， 依原理，A一共有m＝30 × 30＝900种可能结果
1 A 发生当且仅当不同的球落入不同的盒子，因此有利于 A 的样
本点数为不可重复排列数 r r 1 r n 1。所以
P A
r r 1
r n 1 ；
rn
2
第一盒的
j
个球来自
n
个球的总体，一共有

n j

种不同选择；
当第一盒的 j 个球选定后，剩下的 n j 个球落入剩下的 r 1个
P(
A)