(3,0) .
0 ,其长轴长是短轴 例2 椭圆的一个顶点为 A2， 长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
a 2， A2， 0为长轴端点时， b 1， 2 2 x y 椭圆的标准方程为： ； 1 4 1 （2）当 A2， ， 0 为短轴端点时，b 2 , a 4 x2 y2 椭圆的标准方程为： 1 4 16 2 x y2 x2 y2 1 或 1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 1 4 16
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 则椭圆的方程 为（ C ） (A) (C)
x2 y 2 1 36 20
2 2 x2 y 2 y x 1 或 1 9 5 9 5
(B)
(D)
09:23:04
28
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为 :
解：（1）当
09:23:04 26
练习2：
已知椭圆
x2 y2 1 k 8 9
1 的离心率 e 2
，求
k 的值
解：当椭圆的焦点在
2
x 轴上时，
2 2 c k 1 b 9 a k 8 1 由 e ，得： k 4 2
当椭圆的焦点在
2
y 轴上时，
2
2 c 1 k a 9 b k 8 1 5 1 k 1 ，即 由 e ，得 ． k 9 4 2 4 5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
c=3
x o
20
练习
为
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则 1 其离心率为 。 2 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率 1 为 。 3 4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 5
a ,0
(
）;(0, b)
c, 0)
b ,0 ）; (0, a) (0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c
a2=b2+c2 a＞b>0 a>c>0
c e a
2 2 x y 课堂小结用曲线的图形和方程 2 2 1 (a b 0) a b
来研究椭圆的简单几何性质
y B1(0,b) o A2 x
B2(0,-b)
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a
短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b 焦 距 |F1F2| =2c
注意
B2(0,b)
y
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？ 椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁 2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，
令x=0,得y=？说明椭圆
A1(-a,0)
2 2
B1(0,b)
o
A2(a,0) x
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b) 令y=0,得x=？说明椭圆
B2(0,-b)
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
三、椭圆的顶点
长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长 A1 轴和短轴。
椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。
b F1 a
a
长半轴长和短半轴长；
②
o
c
A2 (a, 0) F2
x
|B2F2|=a； a2=b2+c2，
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小 结：
由椭圆的范围、对称性和顶点，
再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （ 1） 25 16
y
y
y
F2
F1
o
F2
x
F1
o
F2
x
F1
o
x
Ax By C 0 则由 x 2 y 2 a/ x2 b/ x c/ 0 2 2 1 b a
标准方程 图象 范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
（
关于x轴，y轴，原点对称 （
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
小试身手：
2.说出椭圆
x y2 1 9 16
2
的范围,长轴
长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
3 x 3, 4 y 4 2a 8, 2b 6
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0)， 2 a b a 2b a 2 5 依题意有： 得： 16 1 b 5 2 2 1 a b
x y 故椭圆方程为 : + = 1. 20 5
2 2
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上 (C) 点(-3,6)在椭圆上
C
(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭 圆的顶点。 y
x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
2
2
2
2
练习1： 比较下列每组椭圆的形状，哪一个 更圆，哪一个更扁？为什么？
x y (1)9 x y 36与 1； 16 12 2 2 x y 2 2 （2）x 9 y 36与 1。 6 10
2 2
2
2
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 焦距是
解： 若焦点在y轴上，
4x 同理求得椭圆方程为： 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为：
y
2
2
x
2
20

y
2
5
1 或
y
2
65

x
2
65 4
1.
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1. 经过点P（－3,0）、Q（0，－2）；
注意：焦点落在椭圆的长轴上
x2 y2 1 9 4
3 2. 长轴的长等于20，离心率等于 . 5
注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上， 必须讨论两种情况 x2 y2 x2 y2 1或 1 100 64 64 100
2.2.2 椭圆的简单几何性质
复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点 的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是
2 2 2 a =b +c
09:23:03 2
椭圆的标准方程
焦点在x 轴上
y
M F1
x y 2 1 2 a b
-a
o
2
y
b a
x
x y x 由 2 2 1 2 a b a
2
2
-b 2 y 1和 2 1 b
即： x a和 y b
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成 的矩形里． 即
-a≤x≤a -b ≤y≤b
二、椭圆的对称性
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 心对称。
即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为 对称中心。
8
x2 y 2 练习：1.已知点P(3，6)在 a2 b2 1 上,则(
y
4 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （ 2） 25 4
y
4 3 2 1
B2
A2
1 2 3 4 5
B2 A2
1 2 3 4 5
A1
A1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
x
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
x
B1
09:23:04
14
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
x2 y2 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的存在范围是什么？ [2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？ [3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？