第7章 热力学基础7.16 一摩尔单原子理想气体从270C 开始加热至770C （1）容积保持不变；（2）压强保持不变；问这两过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？(摩尔热容11,11,78.20,46.12----⋅=⋅=K mol J C K mol J C m P m V )解（１）是等体过程，对外做功A ＝０。
J T C U Q m V 623)2777(46.12,=-⨯=∆=∆= （２）是等压过程，吸收的热量J T C Q m p 1039)2777(78.20,=-⨯=∆=J T C U m V 623)2777(46.12,=-⨯=∆=∆J U Q A 4166231039=-=∆-=7.17 一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达状态b ，有334J 热量传入系统，而系统做功126J 。
（1）若沿adb 时系统做功42J ，问有多少热量传入系统？（2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回态a 时，外界对系统做功84J ，试问系统是吸热还是放热？传递热量是多少？ （3）若态d 与态a 内能之差为167J ，试问沿ad 及db 各自吸收的热量是多少？ 解：已知J A J Q acb acb 126.334== 据热力学第一定律得内能增量为J A Q U acb acb ab 208126334=-=-=∆(1) 沿曲线adb 过程，系统吸收的热量J A U Q adb ab adb 25042208=+=+∆=(2) 沿曲线baJ A U A U Q ba ab ba ba ba 292)84(208-=-+-=+∆-=+∆=, 即系统放热292J(3) J A A A adb ad db 420=== J A U Q ad ad ad 20942167=+=+∆=J U U A U Q ad ab db db db 41167208=-=∆-∆=+∆=，即在db 过程中吸热41J.7.18 8g 氧在温度为270C 时体积为34101.4m -⨯，试计算下列各情形中气体所做的功。
（1）气体绝热地膨胀到33101.4m -⨯；（2）气体等温地膨胀到33101.4m -⨯；再等容地冷却到温度等于绝热膨胀最后所达到的温7.17题示图度。
已知氧的RC m V 5,=。
解：已知 K T 300273270=+=,340101.4m V -⨯=,kg g M 31088-⨯== 由理想气体状态方程RT MpV μ=得Pa V RT MP 640001052.1101.430031.8328/⨯=⨯⨯⨯==-μ(1) 绝热膨胀到 331101.4m V -⨯= ， 由绝热过程方程 γγ00V P PV = 得γγV V P P 100= 而 4.1,,,,=+==mV m V m m p C C R C C γγ 则气体所做功⎰⎰-===-101111100001V V V V V V V V P dV V V P PdV A γγγγγ)(11101100γγγγ----=V V V P []J 938)101.4()101.4()101.4(1052.14.1114.044.034.146=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-=----- （2）气体等温膨胀后等容的冷却到 332101.4m V -⨯=⎰⎰=⨯⨯⨯⨯⨯====---2021435101.4101.4ln 101.41052.1ln 143460200002V V V V J V V V P dV V V P PdV A7.19 为了测定气体的γ值，有时用下面的方法，一定量的气体，初始温度、压强和体积分别为T 0、P 0和V 0，用通有电流的铂丝加热。
设两次加热相等，第一次使体积V 0不变，而T 0、P 0分别变为T 1、P 1；第二次使压强P 0不变，而T 0、V 0分别变至T 2、V 2，试证明02001)()(P V V V P P --=γ 证明：)(),(02,201,1T T C Q T T C Q m P m V -=-=νν 由题知21Q Q =)()(02,01,T T C T T C m P m V -=-∴有则 0201,,T T T T C C mV m P --==γ 又2121P P T T =（等体）， 0202V V T T = （等压）。
00200100020001)()()/()(P V V V P P T T V V T T P P --=--=∴γ有 7.20 如图表示理想气体的某一过程曲线，当气体自态1过渡到态2时气体的P 、T 如何随V 变化？在此过程中气体的摩尔热容C m 怎样计算？解：由图知，P =kV (k 是常数,此过程也是1-=n 的多方过程) 由理想气体状态方程可得2V RkR PV T ==（1摩尔气体） VdV R k C dT C dQ m m m 2==， VdV RkC dT C dU m V m V 2,,==kVdV PdV dA == 由热力学第一定律得：kVdV VdV R k C VdV RkC m V m+=22, 由此得 2/212,,R C R C R C m V m V m +=+= 7.21一用绝热壁做成的圆柱形容器，在容器中间放置一无摩擦的绝热可动活塞，活塞两侧各有ν摩尔理想气体，开始状态均为P 0、V 0、T 0，今将一通电线圈放到活塞左侧气体中，对气体缓慢加热，左侧气体膨胀，同时右侧气体被压缩，最后使右方气体的压强增加为0827P 。
设气体的定容摩尔热容C v ，m 为常数，γ=1.5。
求（1）对活塞右侧气体做了多少功；（2）右侧气体的终温是多少；（3）左侧气体的终温是多少；（4）左侧气体吸收了多少热量。
解：两边压强相等为021827P P P ==（1）右侧是一绝热压缩过程，满足γγ00V P PV =由此得010)(V P P V γ= ，dP P V P dV )11(0101+--=γγγ∴ 对活塞右侧气体所做的功 ⎰⎰---==-=202110101010/11111P P P P P V P dP P V P PdV A γγγγγγγ00/1100/110/110/1001)827(11)827(11V P V P P P P V =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---γγγγγγ （2）由绝热过程方程γγγγ--=100122P T P T 得 右侧气体的终温 005.1/)5.11(0/)1(2025.1)278()(T T T P P T ===--γγ （3）由（1）中05.1/10)(V PP V = 得右侧终态体积为 005.1/10/120294278V V V P P V =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=γ7.20题示图则左侧终态体积 02020019142)(V V V V V V V =-=-+= 由理想气体状态方程111000T V P T V P =得 00000111421914827T T T V P V P T =⨯== （4）由（1）知 00V P A =0,01,417)(T C T T C U m V m V νν=-=∆ 由热力学第一定律得左侧气体所吸收的热量00,000,417417RT T C V P T C A U Q m V m V ννν+=+=+∆= m V m V m P C C C ,,,5.1==ν R C C C m V m V m P ==-,,,5.0 R C m V 2,=∴000219217RT RT RT Q ννν=+=∴ 7.22 如图所示的是一理想气体循环过程图，其中d c b a →→和为绝热过程，c b →为等压过程，a d →为等容过程，已知T a 、T b 、T c 和T d 及气体的热容比γ，求循环过程的效率。
解：在该理想气体循环过程的ab 和cd 分过程是绝热过程，与外界不交换热量，而在bc 过程中放热)(,2c b m P T T C Q -=ν 在da 过程吸热 )(,1d a m V T T C Q -=ν 则此循环过程的效率为da c bd a m V c b m P T T T T T T C T T C Q Q Q Q Q Q A ---=---=-=-==γννη1)()(11,,121211 7.23设有以理想气体为工质的热机，其循环如图所示，试证明其效率。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1/112121P P V V γη 证明：在等体过程ab 中，从外界吸收热量)(1)(2221,,1V P V P C RT T C U Q m V a b m V -=-=∆=ν在绝热过程bc 中与外界不交换热量。
在等压过程ca 中放出热量)(1)(212,,2V V P RC T T C Q mP a c m P -=-=ν7.22题示图7.23题示图则效率 )1/()1(1)()(1)()(1112121212212212,21,212---=---=---=-=P P V V P P V V V P P P V C RV V C P R Q Q m V m P γγη7.24理想气体做卡诺循环，设热源温度为1000C ，冷却器温度为０0C 时，每一循环做净功8kJ ，今维持冷凝器温度不变，提高热源温度，使净功增为10kJ ，若两个循环都工作于相同的两条绝热线之间，求（１）此时热源温度应为多少？（２）这时效率为多少？解：（1）在两个等温线间的绝热过程做功大小相等，故在卡诺循环过程中系统对外所做的功等于两等温过程系统对外所做的功即：)ln ln(432121V V T V V T R A -=ν 由绝热过程方程可得4312V V V V =4321ln )(V VT T R A -=∴ν 由题知 810212'1=--T T T T 125)(810212'1=-⨯=-T T T T K3981252751252'1=+=+=∴T T K（2） %4.31398273111'12'12=-=-=-=T T Q Q η 7.25从锅炉进入蒸汽机的蒸气温度C t 01210=，冷却器温度C t 0240=，问消耗4.18kJ 的热以产生蒸气，可得到的最大功为多少？解：在相同的高温热源的低温热源间的所有热机以卡诺热机的效率最大为%2.354833131112=-=-=T T η 则 kJ Q A 47.118.4%2.351=⨯=≤η。
即得到的最大功为1.47kJ7.26（１）在夏季为使室内保持凉爽，须将热量以s J /2000的散热率排至室外，此冷却用致冷机完成，设室温为270C ，室外为370C ，求致冷机所需要的最小功率。