稳态导热： tw const
非稳态导热 ：
第二类边界条件（Neumann条件）：给定边界上的热流密度值。
稳态导热：
非稳态导热 ：
特例：绝热边界
qw const
qw n t w0 n t w0
第三类边界条件（Robin条件）：给定边界上物体与流体间的表面换热系数 h 和流体温度 tf 。
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传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述 球坐标系下三维非稳态导热微分方程：
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传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述 导热微分方程是描述温度分布的通用表达式，没有涉及具体、特定的导热过程。
定解条件：使得导热微分方程获得某一特定问题的解的附加条件。
grad tt t
n
n
gradtti t jtk x y z
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传热学 Heat Transfer
2-1 导热的基本定律
傅立叶定律：单位时间通过一定截面的导热量，正比于垂直于截面的温度梯度和截面面积
。
热流量
Ag r A a td tA tn [W] n
热流密度
第二章稳态热传导上海交大
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传热学 Heat Transfer
2-1 导热的基本定律 （基本概念）
温度场：某一时刻导热物体内各点温度分布的总称。
稳态温度场 非稳态温度场
tf(x,y,z)
t 0
tf(x,y,z,) t 0
温度场的表示方式
二维：等温线 三维：等温面
等温线（面）
金属
20℃时， 纯铜 λ＝399 [W/(m·K)] 碳钢 λ＝35～40 [W/(m·K)] 水 λ＝0.599 [W/(m·K)] 空气 λ＝0.0259 [W/(m·K)]
导热系数随温 度的线性近似
非金属 液体 气体
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2-2 导热问题的数学描述
物体被加热或冷却均适用
n 为壁面外法线方向
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2-2 导热问题的数学描述 导热微分方程的适用范围：傅立叶导热过程。
不适用的情况：非傅立叶导热过程 ✓ 极短时间(如10-8～10-10s)产生极大的热流密度的热量传递现象， 如激光加工过程。 ✓ 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。 ✓ 微纳米尺度的导热问题。
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2-2 导热问题的数学描述 直角坐标系下三维非稳态导热微分方程 ：
内能的增量 （非稳态项）
导入导出净热流量 （扩散项）
内热源 （源项）
导热微分方程的简化形式： ✓ 导热系数为常数 ✓ 导热系数为常数、且无内热源 ✓ 导热系数为常数、稳态（定常） ✓ 导热系数为常数、稳态（定常）、无内热源
熟练掌握
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2-2 导热问题的数学描述
热扩散率（导温系数）： a c
[m2/s)]
也是物性参数，表征物体导热能力与储热能力的比值，即物体被加热或冷却 时，物体内部各部分间温度趋于一致的能力。
热扩散率 a 越大，说明物体一旦获得热量后，该热量即在物体中很快扩散。
q gr a d tt tn
n
[W/m2]
热流密度是矢量，方向与温度梯度相反，即指向温度减小的方向。
直角坐标系
qqxiqyjqzkxtiytjztk
各向同性
t
t
t
q x x x q y y x q z z x
x y z
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导热微分方程
温度场
tf(x,y,z,)
傅立叶定律
热流量 热流密度
导热微分方程的推导：傅立叶定律 + 能量守恒定律 导入导出微元体的净热流量＋ 微元体内热源生成热＝ 微元体内能的增量
导入热流量
x y z
导出热流量
x dx y dy z dz
内热源生成热 dxdydz
内能增量
c t dxdydz
量或热流密度。
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2-1 导热的基本定律
导热系数λ：单位温度梯度下物体内或物体间所产生的热流密度的模。
导热系数反映物体导热能力的大小。是物性参数，取决于物质的种类及热力状态。
q
[W/(m·K)]
导热系数由实验确定。
t n
x
金 属非 金 属 ; 固 相液 相气 相
稳态导热的温度分布取决于导热系数 λ；
非稳态导热的温度分布取决于导热系数 λ 和热扩散率 a。
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2-2 导热问题的数学描述
圆柱坐标系下三维非稳态导热微分方程
：
xrcosyrsin zz
tg y x
r x2 y2
x x r r x x z z y y r r y y z z
2-1 导热的基本定律 热流线：温度场中热流密度矢量的切线构成的曲线，与等温线垂直。 相邻热流线间通过的热流量处处相等，构成热流通道。
傅立叶定律几点说明： 1. 温度梯度是引发物体内部及物体间热量传递的根本原因。 2. 热量传递的方向垂直于等温线，指向温度降低的方向。 3. 热量传递的大小（热流量、热流密度）取决于温度分布（温度梯度）。 4. 傅立叶导热基本定律普遍适用。 5. 传热学研究中通过导热微分方程得到温度分布后，即可由傅立叶定律求解热流
等温线（面）的特点： ✓ 不可能相交 ✓ 完全封闭或仅在边界中断 ✓ 沿等温线（面）无热量传递 ✓ 疏密代表温度梯度的大小
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传热学 Heat Transfer
2-1 导热的基本定律 （基本概念）
温度梯度：沿等温线（面）法线方向温度的增量与法向距离比值的极限。 温度梯度是矢量，方向垂直于等温线，且指向温度增加的方向。
初始条件
0t( x ,y ,z ,0 ) f( x ,y ,z )
定解条件
第一类
边界条件
第二类
导热问题的数学描述＝ 导热微分方程+定解条件
第三类
稳态导热：给定边界条件即可。 非稳态导热：给定初始条件和边界条件。
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传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述
第一类边界条件（Dirichlet条件）：给定边界上的温度值 。