t ln(d 2 / d1 ) R 2l
W
虽然是稳态情况，但 热流密度 q 与半径 r 成反比！
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
25
单位长度圆筒壁的热流量：
t w1 t w 2 Φ t w1 t w 2 ql r2 1 L R l ln 2 r1
2
2
t1 b<0 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
d t 当b 0时 : 0 (下凹) 2 dx d 2t 当b 0时 : 0 (直线) 2 dx 2 d t 当b 0时 : 0 (上凹) 2 dx
2
x
7
温度分布曲线的凹向取决于系 数b的正负。 当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，b<0 λ增大，即高温区的导热系数大 于低温区。Q=-λA(dt/dx)，所以 高温区的温度梯度dt/dx较小， 而形成上凸的温度分布。
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z

t1 t2
根据上面的条件可得：
t 0 ( ) x x
控制 方程
d 2t dx 2

0
3
x
dt 0 2 dx x 0, t t1 x , t t2
1、通过单层圆筒壁的导热 稳态导热 t 柱坐标

0
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于 管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的 温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维 导热问题。
t1 t 4 1 1 1 r3 r2 ln r1 ln r2 ln r4 r3 21l 22l 23l t1 t n 1 通式为： n 1 ri 1 ln ri i 1 2i l
28
3 通过球壁的导热 1 / r 1 / r2 t t 2 (t1 t 2 ) 温度分布：
27
t2 t3 t3 t4 t1 t2 d2 d3 d4 1 1 1 n n n 21l d1 22l d 2 23l d3
t1 t4 2 l (t1 t4 ) 3 3 1 1 di 1 1 di 1 ln ln 2 l i 1 i di di i 1 i
d dt 0 (1 bt) 0 dx dx
b 2 0 (t t ) c1 x c2 2
最后可求得其温度分布
t w1 t w2 b 2 b 2 t t (t w1 t w1 ) 2 2 b 1 2 (t w1 t w2 ) x
2
完整的数学描写
直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx t2 t1 c1 带入边界条件： c2 t1
t
t2 t1

x t1
4
t2 t1 线性 t x t1 分布 带入Fourier 定律 d t t t 2 1 dx
x t2 Δt
t1
t
12
【例】 有一砖砌墙壁，厚为 0.25m 。已知内外壁面
的温度分别为 25℃和 30℃。试计算墙壁内的温度 分布和通过的热流密度。
解：由平壁导热的温度分布
t
t2 t1

x t1
代入已知数据可以得出墙壁内 t=25+20x的温度分布表达式。
从附录查得红砖的λ=0.87W/(m℃),于是可以 计算出通过墙壁的热流密度 q (t1 t2 ) 17.4W / m2
ln(r r1 ) t t1 (t1 t2 ) ln(r2 r1 )
dt t1 t2 q dr r ln(r2 r1 )
求导
t1 t2 1 dt dr ln(r2 r1 ) r
2 W m
2 l (t1 t2 ) Φ 2 rlq ln(r2 r1 )
t1 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
x
当b<0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ减小，高温区的温度梯度 dt/dx较大。
8
2) 多层平壁的一维稳态导热
多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 水泥沙浆层、红砖（青砖） 主体层等组成 假设各层之间接触良好， 可以近似地认为接合面上 各处的温度相等
6
b t t w1 1 t t w1 2 x b t w2 t w1 1 t t w2 w1 2
二次曲线方程
2
d t b dt b dt 2 dx 1 bt dx 0 dx
13
例 一锅炉炉墙采用密度为 300kg/m3 的水泥珍珠岩制 作，壁厚 = 100 mm，已知内壁温度t1=500℃，外壁 温度 t2=50℃，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。 [解] 材料的平均温度为： t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 ℃ 查得：
{}W/(mk) 0.0651 0.000105 {t}C
W m
r2 Rl ln — 单位长度圆筒壁的导热 热阻 m C W 2 r1 1


26
2、通过多层圆筒壁的导热 由不同材料构成的多层圆筒壁 带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、 积灰的输送管道等 由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆 筒壁 ，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管 壁内外边界条件均匀一致，那么在管子的径向方向 构成一维稳态导热问题。
15
【例】 由三层材料组成的加热炉炉墙。第一层为耐火
砖。第二层为硅藻土绝热层，第三层为红砖，各层的 厚 度 及 导 热 系 数 分 别 为 1 ＝ 240mm ， 1=1.04W/(m℃)， 2＝50mm, 2=0.15W/(m℃)， 3 ＝ 115mm, 3=0.63W/(m℃) 。炉墙内侧耐火砖的 表 面 温 度 为 1000℃ 。 炉 墙 外 侧 红 砖 的 表 面 温 度 为 60℃。试计算硅藻土层的平均温度及通过炉墙的导热 热流密度。
9 2015-4-29
q
t1 t 2
1

t 2 t3
1
2

t3 t 4
t1
t2 t3
2
3
3
q t4
由和分比关系
q
1
1
＋ 2
t1 t 4
2
＋
3
3
t1
r1
t2 r2
t3
r3
t4
推广到n层壁的情况:
q t1 t n 1
i i 1 i
n
10
层间分界面温度
q t1 t 2
1

t 2 t3
1
2

t3 t 4
t1
2
3
t2 t3
3
q
1 t2 t1 q 1 3 t3 t 4 q 3 2 t3 t 2 q 2
t4
11
3）接触热阻： 实际的两个固体表面之间不可能完全接触，只能是 局部的、甚至存在点接触，如图所示。只有在界面 上那些真正接触的点上，温度才是相等的。 当未接触的空隙中充满空气或其它气体时，由于气 体的热导率远远小于固体 ,就会对两个固体间的导热 过程产生附加热阻Rc，称之为接触热阻。 由于接触热阻的存在，使导热过程中两个接触表面 之间出现温差tc。
解：
已知 1＝0.24m, 1=1.04W/(m℃) 2＝0.05m, 2=0.15W/(m℃)
3＝0.115m, 3=0.63W/(m℃)
t1=1000℃ t2=60℃
16
1 2 3 1 2 3 1 t2 t1 q 700℃ 1 2 t3 t2 q 289℃ 2
获得两个系数
t2 t1 c1 ; ln(r2 r1 )
ln r1 c2 t1 (t2 t1 ) ln(r2 r1 )
23
将系数带入第二次积分结果
t2 t1 t t1 ln( r r1 ) ln( r2 r1 )
t1 r1
t2
显然，温度呈对数曲线分布
r r2
24
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
18
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
10 Φ' 3333 .3W 0.003
是双层玻璃窗散热损失的 35 倍，可见采用双层玻璃 窗可以大大减少散热损失，节约能源。
19
第三类边界条件下的一维大平壁稳态导热 P30
通过复合平壁的导热 P32----- 自学，注意处理 方法
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二、 通过圆筒壁的导热
t w1 t w 4 t w1 t w 4 Φ δ3 δ1 δ2 R λ1 R λ 2 R λ 3 Aλ1 Aλ2 Aλ3
15 5 94.3W 0.003 0.005 0.003 2 0.5 2 0.025 2 0.5
可见，单层玻璃的导热热阻为0.003 K/W，而空气 夹层的导热热阻为0.1 K/W，是玻璃的33.3倍。
1
§2 一维稳态导热
1 通过平壁的导热
条件：平壁、一维稳态导热(x方向) 长和宽 ≥ 10 厚度 内容：热流量计算、温度分布。
1)温度分布 已知平壁的壁厚为，两个表面温度： 分别维持均匀而恒定的温度t1和t2，即 边界条件：
x 0 : t t1 x : t t2
2