d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：

t w1 t w 2
ql
Q l

t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1

i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0

当dx≠∞时，则据上式dx存在某一数值dc 使Rl有极小值，此值dc即为临界热绝缘直径。 dc=2 ins/ h2 当d2<dc，若绝热层外径dx有：d2<dx<dc，此时热绝缘层不仅不 起隔热保温作用，反而增强了传热。
四
通过肋壁的导热
通过肋壁的导热
由传热方程式 Φ=KAΔt 知：提高Φ，可以通过提高 K﹑Δt和A等三种方法来实现。由1/K=1/h1+δ/λ+1/h2 ，提 高K，关键在于改进换热系数；而提高Δt受制于工艺技术的制 约，如水冷重油冷却器中水的温度无法降低；提高A又意味着 增加材料的消耗量。工程上常采用加肋片的办法，可以在增 加材料消耗量较少的条件下，更多的增大传热面积。 肋片是指依附于基础表面上的扩展表面，并将肋片加在 对流换热系数小（即热阻大）的一侧。图2.15给出了四种典 型的肋片结构。根据沿肋高方向上面积的变化，又可分为等 截面和变截面肋。 通过肋片导热的特点是：在肋高的方向上有表面的传热， 即沿肋高方向上的热流量是不断变化的。本节主要讨论肋壁 中单个肋片的传热问题。并弄清楚两问题：①通过肋片表面 的对流散热量？②从肋基到肋端的温度如何变化？即温度场 如何？

t w1 t w 4
将上式合并整理后得：
q 对于n层平壁，则有：

t w1 t wn1
q
t w1 t w 4 R ,1 R , 2 R , 3

i 1
n
R ,i
i 1
3
R ,i
n层平壁中第i层与第i+1层之间接触面的温度tw，i+1为： tw,i+1=tw1-q（R,1+ R,2+…+ R,i）
d1h2 2
当冷热流体通过多层圆筒壁时的传热量为：
ql
1 d1h1
2i
i 1
n
ln
di 1 d1h di 2 2
通过圆筒壁的导热
三、临界热绝缘直径
如Байду номын сангаас：已知热力管道内、外直径为d1、d2，外包导热系数为ins的 绝热保温材料，外径为dx，且己知1、h1、h2，此时总热阻为：
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
已知：x=0处 tf1、h1；x=处 tf2、h2；、、稳态、无内热源。 此具体导热问题完整的数学描述为： t tf1 d2t/d2x=0 tw1 -dt/dx|x=0=h1（tf1-t|x=0） tw2 h1 -dt/dx|x= =h2（t|x= - tf2） tf2 引入未知中间变量：tw1=t|x=0 tw2=t|x= h2 x 据傅里叶定律及前面结果，上三式可写为： q|x∈（0,δ）=λ（tw1-tw2）/δ tf1 1/h1 t / t 1/h2 t q|x=0=h1（tf1-tw1） w1 w2 f2 q|x= =h2（tw2-tf2） q 对于稳态，整理上列各式得：
x dx H
d
L
0

tf
H≈0
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热（此导热微分方程亦可由热力 学第一定律导出） h t t f Pdx hP t t f d 4.求解： q dV A L dx A L
1>.确定负内热源强度： 2>.据一维稳态具内热源的微分方程
d 2 t hP t t 0 f A dx 2
d2t/d2x+qv/=0
A
有：


令 ： hP m 2
有 ：
3>.边界条件： a.t|x=0=t0……………………………………… <2> b.dt/dx|x=H=0 ………………………………… <3> 4>.引入过余温度：令：=t-tf 0=t0-tf 代入<1>则变成： H=tH-tf
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
L· d 0 1.假设： 1 ①H>>δ，且值较大，即 h 可 忽略温度沿方向和长度的变化， 认为：t=f（x）； ②肋片端面，即x=H处绝热，即有： H=0。 2.已知：肋高H，肋宽L，肋厚，肋 片材料的导热系数，流体温度 为tf，肋与周围流体的复合换热 系数为h，肋片断面周长为P=2 （ L+ ），断面面积为：AL=L· ； 肋基温度t0且大于tf 。 3.表面对流换热作负的内热源处理。 使此问题变成一维稳态导热。
1 r
dt dr




ql
同样引入未知中间变量tw1、tw2并引入前 述结果，即可得： t f 1 t f 2
1 1 ln d2 1 d1h1 2 d1 d2h2
or ql kl t f 1 t f 2
d2 d1
此时单位管长的热阻：
t f 1 t f 2
1
1 Rl d1h1 2 ln 1
三
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
当管长远大于壁厚，可忽略沿长度方向上温度的改变，又因圆 筒壁的温度场轴对称，故为一维稳态温度场，此时有：
d 2t dr 2
1 r
dt dr
0 or :
d dr
dt r dr 0
t|s=tw
t t w1 t w1 t w2
r=r1 t=tw1 r=r2 t=tw2 微分方程两次积分后：t=c1lnr+c2 将边界条件代入上式后即得温度分布为：



q
t w1 t w 2

0 1 b t w1 t w2 2
当 b>0时，q变>q常；当 b<0时，q变<q常。 另从上式可知，此时q也可用下式计算： q t w1 t w2 t /
通过平壁的导热
一、已知第一类边界条件：
对如下图所示的多层平壁，对每个壁而言，均有：
w1

通过平壁的导热
一、已知第一类边界条件：
据傅里叶定律即可求得导热热流密度： q = - ·dt/dx = · w1-tw2）/ （t 或写成热阻形式：q=（tw1-tw2）/（/）=（tw1-tw2）/R 若随t变化，如遵循=0（1+bt）规律时，则q应如下求解： d dt 导热微分方程式为： dx dx 0 t 边界条件为： x=0 t=tw1 x= t=tw2 b>0 b=0 解微分方程得此时物体内部温度场： 1 1 2 t b 2 tw1 b 2 b tw1 tw2 tw1 tw 2 x b<0 x 此时平壁内温度分布为二次曲线关系。且：
式中： 2 均是双曲线余弦函数。说明温度场呈双曲线余弦关系变化。
e m X H e m X H ch m x H 2
mH mH chmH e e
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解： 6>.肋端过余温度l ：当x=H时，即得肋端过余温度的表达式：
第 二 章
一
二
稳 态 导 热
通过平壁的导热
通过复合平壁的导热
三
四 五 六
通过圆筒壁的导热
通过肋壁的导热 通过接触面的导热 二维稳态导热问题
第 二 章
稳 态 导 热
对于稳态，则有： t/=0，导热微分方程式可 写成： ▽2t+qv/=0 若无内热源，上式简化为：
t
2
2t x 2

2t y 2
1 r2 ln r 1 r ln r
or : t t w1 t w1 t w2 ln d1 2
d ln d d1
将导热微分方程一次积分后有： dt/dr=c1/r 从上式知温度沿半径r的变化率与r成反比， 温度分布曲线为一条下凹的曲线。另因总不变，而qr= /Ar， 故在不同的Ar圆筒面上有不同的热流密度值。
W /m
式中分母为单位长度圆筒壁的导热热阻Rl，单位为m· ℃/W 多层圆筒壁与多层平壁计算相类似，导热量可用温差和总 热阻来计算： t t t t