u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0
x0 x2 y2 x0 x2 (kx)2
ykx
ykx
9
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
第2章 导数
Derivatives
1
2.1 复变函数的极限
2.1 复变函数的极限
1. 极限的定义（the definition of limit ）: 设函数 w f (z) 定义在 z0 的某去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
说明
[证毕]
该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x, y)
和 v( x, y)的极限问题.
7
定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
20
2. 关于连续的例题:
21
例3 证明:如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续. 证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y),
5
或当 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 时,
(u u0 ) i(v v0 ) , u u0 , v v0 ,
故
lim
x x0
u(
x,
y)
u0
,
lim
x x0
v(
x
,
y
)
v0
.
y y0
y y0
(2) 充分性.
若
lim
x x0
u(
x,
y)
u0
,
lim
x x0
18
定理四 (1) 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、差、 积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续. (2) 如果函数 h g(z)在 z0 连续,函数 w f (h)在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处 连续.
19
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
32
思考题
设复变函数 f (z)当 z z0 时的极限存在, 此极限值与z 趋于 z0 所采取的方式(选取的路 径)有无关系?
33
思考题答案
没有关系. z以任何方式趋于z0, 极限值都是相同的.
34
• 2.1.2 • 2.1.3 • 2.1.7 • 2.2.1 • 2.2.2
作业
35
,
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim
x0
v(
x,
y
)
lim
x0
x
2 xy 2 y
2
1
2k k
2
,
ykx
ykx
12
随 k 值的变化而变化, 所以 lim v( x, y) 不存在,
x x0 y y0
根据定理一可知, lim f (z) 不存在. z0
13
2.2 函数的连续性 （Continuity）
ex cos y iex sin y
30
在除去负实轴及原点的 复 平 面 内, w Ln z 的 主值支和其它各分支 处处连续。
例如 ln z ln z i arg z.
31
正弦函数和余弦函数 在复平面内都是处处连续的.
余弦函数为cos z eiz eiz , 2
正弦函数为sinz eiz eiz . 2i
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
8
例1 证明函数 f (z) Re(z) 当 z 0时的极限 z
不存在.
证 (一) 令 z x iy, 则 f (z) x , x2 y2
通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
23
指数函数exp z ez 在 复平面内处处连续。
因为若 z x iy, 则 ez e（x cos y i sin y）
v
(
x
,
y
)
v0
,
y y0
y y0
那么当 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 时,
有
u u0
,2vv0,26
f (z) A (u u0 ) i(v v0 )
u u0 v v0
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
16
定理三 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在z0 x0 iy0
连续的充要条件是: u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处连续.
（由定理一即知）
17
例如, f (z) ln( x2 y2 ) i( x2 y2 ), u( x, y) ln( x2 y2 ) 在复平面内除原点外处 处连续, v( x, y) x2 y2 在复平面内处处连续, 故 f ( x, y) 在复平面内除原点外处处连续.
那末称 A 为 f (z) 当 z 趋向于 z0 时的极限. 记作 lim f (z) A. (或 f (z) zz0 A)
zz0
注意: 定义中 z z0 的方式是任意的.
3
复变函数的极限 的几何解释
4
2. 极限计算的定理（Theorems on Limits ）
定理一
设 f (z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0,
14
1. 连续的定义:
如果 lim zz0
f (z)
f (z0 ), 那末我们就说
f (z)
在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域 D内处处连续,
我们说 f (z) 在 D内连续.
函数 f (z) 在曲线C 上 z0 处连续的意义是
lim
zz0
f (z)
f (z0 ),
zC.
15
2. 关于连续的定理:
z0
x0
iy0
,
那
末
lim
zz0
f
(z)
A的充要条件是
lim
x x0
u(
x,
y
)
u0
,
lim
x x0
v(
x,
y)
v0
.
y y0
y y0
证 (1) 必要性. 如果 lim f (z) A, zz0
根据极限的定义 当0 ( x iy) ( x0 iy0 ) 时,
(u iv) (u0 iv0 ) ,
x x0 y y0
x x0 y y0
根据定理一可知, lim f (z) 不存在. z0
证 (二) 令 z r(cos i sin ),
则 f (z) r cos cos ,
r
10
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时,
f (z)趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴 arg z 0 趋于零时, f (z) 1,
沿 arg z π 趋于零时, f (z) 0, 2
故 lim f (z) 不存在. z0
11
例2 证明函数 f (z) z (z 0) 当 z 0时的极 z
限不存在.
证
令 z x iy, f (z) u iv,
则
u( x, y)
x2 x2
y y
2 2
,
v( x,
y)
2 xy x2 y2
则 f (z) u( x, y) iv( x, y), 由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
22
思考