x l im x 0 u ( x ,y ) u 0 ， x l im x 0 v ( x ,y ) v 0
变
y y 0
y y 0
函
数
与 积
例1 试求下列函数的极限.
分
变 换
1 .lim z 2 .lim z z z z 1
z z 1 i
z 1 z 1
例2 证 明 函 数 f ( z ) z 在 z 0 时 极 限 不 存 在 . z
尔 滨 工
例3
考 察 函 数 w z2
程 大
w u i v ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 x y i
学
因 此 w z 2 对 应 u x 2 y 2 , v 2 x y
复
变 函
例 4 将定义在全平面除原点区域上的一对
数
与 积
二元实变函数
分
变 换
ux22xy2，vx2yy2，x2y20
第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第二讲 复变函数的极限与连续性
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数 与
掌握复变函数的概念
积
分 变
掌握复变函数的极限与连续性
换
一 、 复平面上的点集与区域
哈
尔
邻 域 ： 复 平 面 上 以 z0 为 心 , 0 为 半 径 的 圆 :
滨 工 程 大 学
|zz0| (0 ),所 确 定 的 平 面 点 集 ， 称 为 z0 的 邻 域 ， 记 作 U (z0,)
尔
滨 工
0，0,当0zz0 时恒有
程
大 学
f(z)A
复 则称A为函数f(z)当z趋于z0时的极限，记作
变
函 数 与
limf(z)A或f(z)A
zz0
(zz0)
积 分 变
注意：这 里 ， z趋 于 z0的 方 式 是 任 意 的 ， 即 若
换
极 限 存 在 是 指 z沿 着 任 意 方 向 ， 以 任 意
P
复 变
开集。
函
数
与 积
边界与边界点:
设有点P，若点P的任何邻域
分 变
中既有属于都包含E中的点又有不属于
换
E的点，则称P是E的边界点；点集E的
所有边界点的集合称为E的边界
闭 包 ： 区 域 D 与 它 的 边 界 一 起 称 为 D 的 闭 包 ,
哈 尔
记 为 D .
滨
工 程
孤 立 点 ： 若 z 0 属 于 点 集 E ,但 存 在 z 0 的 某 个 去 心 邻
变
函y
(z)
数
与
v
(w)
w=f(z)
积 分
G*
变 换
G w=f(z)
z
w
o
x
o
u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
哈 尔
函数，映射，变换都是一种对应关系的
滨 工 程
反映，是同一概念。
大
学 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；
复 变
几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
函
数 与 积
代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；
方 式 趋 于 z0 时 ， f(z)都 要 趋 于 同 一 值 A 。
定 理 1 设 f(z)u(x,y)iv(x,y)， 在 z0的 某 空 心
哈
邻 域 内 有 定 义 ， 其 中 z0x0iy0， 则
尔 滨 工
lz im z0 f(z)Au0iv0
程 大
的 充 分 必 要 条 件 为 :
学
复
数
与 积
通 过 映 射 w z 2 ,z 的 辐 角 增 大 一 倍 ,
分
变 换
因 此 ， z 平 面 上 与 正 实 轴 夹 角 为 的 角 形 域
映 成 w 平 面 上 与 正 实 轴 夹 角 为 2 的 角 形 域 .
2) 因 为 w z 2 ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 i x y
分 变
函 数 的 定 义 域 .
换
单 值 函 数 若 每 个 z G ， 有 且 仅 有 一 个 w 与 之
对 应 ， 称 此 函 数 为 单 值 函 数 。
定 义 一 个 复 变 函 数 w f ( z ) ,相 当 于 定 义 两 个
哈 二 元 实 函 数 u u ( x ,y ) , v v ( x ,y )
z ( ) , z ( ) 称 为 曲 线 的 端 点 。
简 单 曲 线 （ J o r d a n 曲 线 ） ： 除 端 点 z () 和 z () 外 ,
哈
本 身 不 自 交 的 连 续 曲 线 称 为 简 单 曲 线 。
尔
滨
工 程
z () z () 的 简 单 曲 线 ， 称 为 简 单 闭 曲 线 ,
1 k 2 (x ,y li) m (0 ,0 )u (x ,y )lx i m 0u (x ,y ) 1 k 2不存在
(y k x )
复变函数的极限四则运算法则：
哈 设 l i m f ( z ) , l i m g ( z ) 都 存 在 ， 则
尔
z z 0 z z 0
滨
工 程
1 .l i m [ f ( z ) g ( z ) ] l i m f ( z ) l i m g ( z )
化为一个复变函数.
四、映射——复变函数的几何表示
哈 函 数 w f ( z ) 在 几 何 上 ， 可 以 看 成
尔
滨 工
z G ( z 平 面 ) w f ( z ) w G * ( w 平 面 ) 的 映 射 .
程
大 学
定义域
函数值集合
复 w 称 为 z 的 象 , z 称 为 w 的 原 象 .
三、复变函数
哈 设G为给定的平面点集，若对于G中每一个
尔
滨 工
复数zxiy，按着某一确定的法则f，总
程 大
有确定的一个或几个复数wuiv与之对应，
学
则称w是G上的关于z的复变函数，简称复变
复
变 函
函数，记作wf(z).
数
与 积
其 中 z 称 为 自 变 量 ， w 称 为 因 变 量 ， 点 集 G 称 为
哈 尔
于 是 有 u x 2 y 2 a ,v 2 x y b
滨
工
程 大 学
所以z平面的曲线映成w平面的直线
复 3) 因 为 w z 2 ( x i y ) 2 x 2 y 2 2 i x y
变
函 数 与
x 1 u 1 y 2 ,v 2 y u1 v2
积 分 变 换
4 y 2 u x 2 4 ,v 4 x u v2 4
大 学
域 内 无 E 中 的 点 ， 则 称 z 0 为 E 的 孤 立 点
复
变 函
聚 点 :若 点 P 的 任 意 邻 域 U ( P ) 内 都 包 含 有 E
数
与 积
中 的 无 限 个 点 ， 则 称 P 为 E 的 聚 点 .
分
变
换 点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任
与
积
分 变
如 果 在 圆 环 内 去 掉 若 干 个 点 ,它 仍 是 区 域 ,
换 但 边 界 有 变 化 ,是 两 个 圆 周 及 其 若 干 个 孤
立 点 所 构 成 .
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
xx(t) yy(t)
(t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
否 则 为 无 界 区 域 .
区域的例子:
哈 例 1圆 盘 U (a ,r ) 有 界 开 区 域
尔
滨 工
其 边 界 为 点 集 ： { z | | z a | r }
程
大
学 例 2 点 集 z r 1 z z 0 r 2 是 一 有 界 区 域 ,
复
变 函 数
其 边 界 由 两 个 圆 周 z z 0 r 1 , z z 0 r 2 构 成 .
复 变 函
若 x ' ( t) 、 y ' ( t) C [ a ,b ] 且 [ x ' ( t) ] 2 [ y ' ( t) ] 2 0
数 与
则 称 该 曲 线 为 光 滑 的 .
积
分 变
令 z ( t ) x ( t ) i y ( t ) , t ,则 平 面 曲 线 的
换
复 数 表 示 式 为 z z ( t ) ( t ) .
哈 解 设 z r ( c o s i s i n ) r e i
尔
滨 工 程
zrei —关于实轴对称的一个映射
大
学
复
y (z)
v (w)
变
函
数 与
o
积 分
o
x
u
变
换
例6 研 究 w e i z ( 实 常 数 ） 所 构 成 的 映 射 .
哈 尔
解 设zrei,
滨 工 程 大 学
大 学
z z 0
积
分
变 换
3 )z 平 面 上 直 线 x 1 ,y 2 映 成 w 平 面 上 怎
样 的 曲 线 ？
解 1 )w ( z 1 ) ( 1 ) 2 1 ,
哈 尔 滨 工
w(z3)(1i)2{
2[cosisin]}2
44
程 大 学
( 2)2[cos(2)isin(2)]2i