3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。

A B
模型：
s
e E E s s e
O


线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s

e E E1 ( s ) s e

B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O

E s
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
特雷斯卡(Tresca)条件(1864)
罗德（Lode）的试验结果
应力罗德参
数与塑性应 变增量罗德 参数相等：
d
p
d
2 2 1 3 1 3
p
2d 2p d 1p d 3p d 1p d 3p

由于
d
p
2 i cos 3 2 s2 i cos 120 3 2 s3 i cos 240 3 s1
——泊松比
广义胡克定律——对复杂应力状态，在弹性力学
假设条件下，应用叠加原理：
考虑x方向的正应变：
产生的x方向应变： 产生的x方向应变： 产生的x方向应变： 即 同理： 叠加后得
剪应变：
物理方程： 说明：
1.方程表示了各向同性材料的 应力与应变的关系，称为广义 Hooke定律。也称为弹性问题 物理方程。
名义应力与真实应力
在体积不可压缩的假设前提下
拉伸（压缩）时的名义应力
荷载
P A0
初始截面积
拉伸时的真实应力 压缩时的真实应力
P T (1 ) A
变形后截面积
P T (1 ) A
3－2 弹塑性力学中常用的简化力学 模型
理想弹塑性
低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格（Bauschinger）效应
具有强化性 当应力超
如果s+s =2s，则称为理想包辛格效应
过屈服点 质的材料随 后，拉伸 着塑性变形 （或压缩） 的增加，屈 应力的硬 服极限在一 化将引起 个方向上提 反向加载 时 压 缩 高，而在相 （或拉伸） 反方向降低 屈服应力 的弱化
在 平面上，Mises屈服曲线为一圆。
在 3 = 0的平面上，Mises屈服曲线为一个
以原点为中心，以静水压力 m 与广义剪应 力i为长短轴的椭圆。 在主应力空间，Mises屈服面为一以等倾线 为轴的正圆柱体表面。
Mises屈服条件的几何表示(屈服面)
2
Mises条件
平面上的屈服轨迹
得
d ip cos d p d ip cos d p 120 d ip cos d p 240 2 2 2 i cos i cos 120 i cos 240 3 3 3
de1p de2p de3p s1 s2 s3
Mises屈服条件数学表达式
1 2 2 3 3 1
2 2
2
2
2 s
或
( x y )2 ( y z )2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
2 2 2 2 s
当最大剪应力达到材料的某一定值时，材料就开
始屈服，进入塑性状态。表示为 max = k 当 1 > 2 > 3 时可写作 1 - 2 = 2k 在主应力的次序未知的情况下，Tresca屈服条件应 表示为： 1 2 2k 2 3 2k 3 1 2k 上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑 性变形。
Mises条件
平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
3
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
应力空间屈服面
o
3
1
对Tresca屈服条件的评价
Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对
Tresca屈服条件参数
常数k由试验确定。如由单拉试验，一般取
k = s/2 (有时取k = s/ )。如由纯剪切试验， 3 k = s。因此，按照Tresca屈服条件，材料 的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在 s = s/2。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
在三维应力空间中，1 - 2 = 2k 是一对与
2.方程组在线弹性条件下成立。
体积应变与体积弹性模量
令： 则：
m称为平均应力;
q 称为体积应变
广义胡克定律的其他表示形式
物理方程：
物理方程：
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
广义胡克定律——应力偏量与应变 偏量的关系
用应力偏量与应变偏量表示
e ij
1 sij 2G
平面的法线(等倾线)以及3轴平行的平面。
因此，Tresca屈服条件的屈服面是由三对 互相平行、垂直于 平面的平面组成的正六 角柱体表面。它与 平面的截线（屈服线） 是一个正六边形。它的外接圆半径是 2 / 3 2k （内切圆半径是 k / 2）。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
第3章 弹性与塑性应力应变关系
第3章 弹性与塑性应力应变关系
1. 拉伸和压缩时的应力应变曲线
2. 弹塑性力学中常用的简化力学模型 3. 广义胡克定律
4. 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
5. 塑性应力应变关系
6. 德鲁克公设和伊柳辛公设
7. 塑性本构关系的内在联系
弹塑性力学 弹塑性力学 静力学 静力学
平衡微 分方程
外切Tresca条件
O
1
内接Tresca条件
3
Mises屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca条件与Mises条件的比较
Tresca条件与Mises条件的比较
两种屈服条件的差别与确定常数的方法有
关。 若用单向拉伸时的屈服极限确定常数，则 在纯剪应力状态下两种屈服条件相差最大， Mises条件所确定的最大剪应力比Tresca条 件所确定的最大剪应力大15. 5%。 若用纯剪时的屈服极限确定常数，则在单 向拉伸时两种屈服条件相差最大，用Mises 条件所确定的最大拉应力比用Tresca条件 所确定的最大拉应力小13.4%。
塑性力学问题的特点
塑性力学问题有如下几个特点：
(1)应力与应变之问题的关系（本构关系）是非 线性的，其非线性性质与具体材料有关； (2)应力与应变之间没有一一对应的关系，它与 加载历史有关； (3)在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而 在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界 线； (4)在分析问题时，需要区分是加载过程还是卸 载过程。在塑性区，在加载过程中要使用塑性 的应力应变关系，而在卸载过程中则应使用广 义的胡克定律。


应力偏量张量第二不变量 1 J 2 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 6


2
八面体（等倾面）上的剪应力
1 0 3
1 2 2 3 3 1
2 2
Mises屈服条件几何表示
de1p de2p de3p 3 d ip d s1 s2 s3 2 i
d的物理意义
d 为比例系数，它在塑性变形过程中，随
着dip 和 i比值的变化而变化，但在变形的 某一瞬间，应变偏量增量的每一分量与相 对应的应力偏量分量的比值都相同为d。 对于理想塑性材料，i = s，因此，比例系 数d又可以写成 p p 莱维－米泽 deij 3 d ip 3 d i d , d 斯流动法则 斯本构方程 2 s sij 2 i 在塑性变形的过程中，比例系数d 不仅与 材料的屈服极限有关，而且还和变形程度 有关。
s

B
理想刚塑性模型：
A
s