强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x

y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )

i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m


1 y y 2G
1 z z 2G

m
x

1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2
2 2 2 2 2 2 d x y y z z x 6 xy yz xz 2 2d 2 2
• 每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合。
• 应变增量与应力偏张量成正比，即：
d dij ij
变形时变化。 d - 瞬时的非负比例系数。 卸载时，d 0
上式
d d ij ij
称为列维米塞斯方程
(1)比例形式：
d x d y d z d xy d yz d xz d x y z xy yz xz
e
将上式括号中的第三、四项展开即可发现它们都为零：
因此，括号内只留下前两项，其中第二项只与球张量 有关，表示体积变化的能量，用表示；而第一项只与偏张
量有关，表示形状变化的能量，即形变能，以表示。
屈服时的弹性形变能为：
1 2 1 A S 常数 6G 6G
e x 2
（密席斯屈服准则的物理意义，即当材料的质点内单位 体积的弹性形变能达到某一临界值时，材料就屈服。）
第四章 材料本构关系
应力状态与应变之间的关系，这种各种的数 学表达式叫做本构方程，也叫物理方程。
平衡微分方程 求解屈服准则 本构方程
4.1 弹性本构关系
材料在简单拉伸情况下，应变与应力关系满足 x
1 x E
y
z 0
x
P
x方向：增长 y方向：缩短 z方向：缩短
应变关系满足：
对等式右边开方再乘以
2G 2
2
1 2
，得
2 2
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy
2G 2

2 2 2 6 x y y z z x xy yz xz 2 2 2
2 令 d 3
2 2 2 d yz d xz d x d y d y d z d z d x 6 d xy 2 2 2
d
为塑性应变增量强度，也称等效应变增量。
则 9 d 2 2 2d2 2
4.3.1 列维-密席斯增量理论
• 材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零， 塑性应变增量就是总 应变增量。 • 材料服从密席斯屈服准则，即： s • 塑性变形时体积不变，即：
d x d y d z d1 d 2 d3 0
dij dij
因此：
2、差比形式：
x y y z xy yz xz z x 1 x y y z z x xy yz xz 2G
上式两边平方后整理后得：

x y
z 4G 2 y z
2

2 2 2 6 x y y z z x xy yz xz 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4G 6 等式右边为： x y y z z x xy yz xz
4.2塑性变形时应力应变关系的特点
塑性变形时应力应变关系的特点:
1. 塑性变形时体积不变（应变球张量为0，υ=0.5）
2. 应力与应变之间的关系是非线性的 3. 全量应变与应力的主轴不一定重合 4. 塑性变形是不可恢复的，应力与应变之间没有一般 的单值关系，而是与加载历史或应变路线有关
由此可以看出： 离开加载路线来 建立应力与全量 塑性应变之间的 普遍关系是不可 能的。


1 E 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz xz 2 1 1 1 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz xz 令 i 2 1
(2)差比形式：
d x d y
x y

d y d z
y z
2

d z d x d z x
2 2 6d xy 6 xy d 2 2 2 2 6d yz 6 yz d 2 2 2 6d xz 6 xz d


yz xz xy
yz
2G


xz
2G
广义虎克定律


xy
2G
x y z
1 x y z 2 x y z E


1 2 x y z x y z E
2 2
y 4G 2 x y
2
2
2 2
z
x 4G 2 z x
2 2 xy 4 G 2 xy 2 2 yz 4 G 2 yz 2 2 xz 4 G 2 xz
+ 2 2 2 2 2 2 6 4G yz 6 4G + yz y z y z 2 2 2 2 2 2 6 4G xz 6 z x 4G z x + xz
z y x
x
E
其中：υ——泊松比
即当材料在某个方向受拉力时，在该方向出现拉伸变形， 而与垂直的两个方向则出现压缩变形。
多向受力时： z x方向正应力产生：
x
x
E
, y
x
E
, z
x
E
x
y方向正应力产生：
+ x
y
图2-5 π平面上的加载准
加载与卸载准则通用式表示 如果以 f ( ij ) 0 表示屈服曲面
弹性状态： f ( ij ) 0
f f ( ij ) 0, df d ij 0 强化材料加载： ij
强化材料变载，理想材料加载：
f f ( ij ) 0, df d ij 0 ij

ij

1 ij 2G
应变偏张量与应力偏张量成正比
结论：物体形状改变只由应力偏张量引起
m
1 2 m E
m
物体弹性变形时，单位体积变化率θ =3ε
与平均应力成正比。
结论：应力球张量使物体产生了弹性体积改变
应变张量可以分解成偏张量和球张量
m ij ij ij
加载：ζ edζ e ＞0，应力点保持在加载曲面上，此时有新的塑 性变形发生，ζ -ε 关系为塑性关系。 卸载：ζ edζ e＜0，应力点向加 载曲面内侧变动，不会产生新 的塑性变形， ζ -ε 关系为弹 性关系。 中性变载：若ζ edζ e=0 ，应力 点在原有屈服曲面上变动，对 于强化材料而言为没有新的塑 性变形，关系为弹性关系。



其中
i
弹性应变强度
等式左边与右边关系为：
=E i
结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成 正比，比例系数为E
等效应变表达式：
2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 6 xy yz xz 3 弹性应变强度表达式：
E
, y
y
E
, z
y
E
y
z方向正应力产生： + x
z
E
, y
z
E
, z
z
E
1 x x ( y z ) ; E 由上，得 1 y y ( x z ) ; E 1 z z ( y x ) ; E
二、弹性变形能
物体在外力作用下产生弹性变形时，单位体积中的弹性能：
1 e e Ae ij ij AT Ax 2
将 ij和 ij 都分解成偏张量和球张量，则