d 1 p : d 2 p : d 3 p d 2 : d 1 : d 1 d 2 ( 1 ) : : 1
0 d1 1 d1d2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f
n n
f
• 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异
点处，塑性应变增量表示成在该点相交
f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0
当应力点位于f1=0上
dipj
d1
f1 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
dipj
d2
f2 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (d2 0 d2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上 dipd1 f1i d2 f2i
f
(
ij
d
ij
,
d
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ij ,
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
常用的强化模型
1. 等向强化 • 几何特点（在应力空间）：
• 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。 但变形必须始终保持协调而受到相互限制。 应变大小的确定需结合变形协调条件。
• 反过来若给定dij，则可以确定sij。
J21 2sijsijd2idjd2ij1 32 s
d 23dijdij s
sij 3 2sdij dijdij
dp 2dd2p1pd1dp3pd3p
的各面的法线方向所确定的增量的线性
组合：
dipj
n
dk
k1
gk
ij
5.3.3 强化法则
1）强化法则的概念 在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以 使应力点总是位于它上面，从某一个屈服面 如何进入后继屈服面的准则就是强化法则， 也就是控制加载面发展的规则。
单轴拉伸下的强化
C
*
B
s
A'
p
A
O
E
p
经过塑性变形变化后的屈服条件就称加
载条件。
加载条件在应力空间内形成的曲面称为 加载面。 对理想塑性材料，加载条件和加载面不 发生变化，都是最初的屈服面。
加卸载准则
在应力空间上的屈服面确定了当前 弹性区的边界。
若应力状态改变时材料中有新的塑 性变形产生，这种应力变化称加载 （loading）；而当应力变化时材料回 到弹性状态，不产生新的塑性变形， 这种应力变化称卸载（unloading）。
当应力状态ij处在加载面上， f (ij，) = 0
施加增量dij： （1）加载：dij指向加载面 外 （2）中性变载：dij沿着加 载面 （3）卸载：dij指向加载面 内
中 性 变 载 ?d
n d 加 载
卸 载 ?d
ij 加载面
由于任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
上述情况下应力应变关系是不同的。因 此，要确定应力应变关系还需建立一个 加载准则。对单轴受力的情况，加卸载 准则可表为：
d 0 d 0
加载 卸载
对于理想弹塑性材料，加卸载条件为
f 0
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
加载 卸载
中 性 变 载 ?d
n d 加 载
卸 载 ?d
ij 加载面
对于硬化材料在强化阶段，加卸载条件为：
dp
Tresca形式的塑性势能函数
• 在应力状态位于塑性势能面顶点或奇异 点，塑性应变增量必须位于六边形两相 邻边的法线方向之间。
不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0
f3 = 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0
5.3 塑性应力应变关系
• 5.3.1 加载条件 • 5.3.2 流动法则 • 5.3.3 强化法则 • 5.3.4 增量理论 • 5.3.5 全量理论 • 5.3.6 稳定公设 • 5.3.7 典型例题
5.3.1 加载条件
• 在塑性变形阶段，应力和应变关系是非 线性的。
• 应变不仅和应力状态有关，而且还和变 形历史有关。
•几何特点： 加载面大小、位置和中心都改变，它是前
面两种情况的综合， • 数学表达：
f (ijij) k()= 0 与随动强化不同的是，这里k随加载的历史 而变化。
• 说明： 以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在
应力空间中进行的。 对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更
方便些。
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
背应力（back stress） 提供了考虑Bauschinger效应的简单方法。
Prager随动强化模型
背应力增量应平行于塑性应变增量
dij=c
d
p ij
式中c是材料常数，由试验确定。
对于Mises屈服条件，该模型可写成
ijcipj 2 3sijcipj sijcipj s
3 混合强化
1．塑性功 w p wp ijdipj 是目前岩土弹
塑性理论中用得较多的。
2．塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变
p S 23dipjdipj
4．塑性体应变
p v
xp
yp
zp
• 使用一组内变量（=1，2，…，n）描述塑性变形 历史，
• 后继屈服条件 f (ij，)=0
随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载 面也随之改变。
• 在大塑性流动中，忽略弹性变形，得到LevyMises方程：
dijdipj sijd
•相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增
加了一个方程（屈服条件）
•理想弹塑性问题，考虑平衡方程＋几何方程 ＋物理方程＋屈服条件
讨论：
• 当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量 dij各分量的比例关系，由于d未知，不能确 定应变增量dij的大小。
dipj
d
g
ij
关联流动法则
g f
dipj
d
f
ij
非关联流动法则
g f
• 展开为
dx pdy pdzpdx pydy pzdzpxd sx sy sz 2xy 2yz 2zx
• 考虑弹性应变，得到：
deij deiejdeipj
deij d2Gsij sijd
• 这就是Prandtl-Reuss方程。
e
• 随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化
• 新的屈服极限：
(s)new = Max() • 后继屈服条件（也称加载条件）
＝(s)new <(s)new
处于屈服状态 处于卸载状态
• Max()随塑性变形历史单调增长， Max()＝(p)
• 后继屈服条件即加载条件也可表示为 (p)＝0
复杂应力状态
为了描述强化性质，需要： （1）记录塑性加载的历史； （2）描述强化与塑性加载历史的关系。
表达加载历史的参量为硬化参量，它又 称为内变量（internal- variable），它不 能由观测仪器直接观测求出，而应力变 形一类可由仪器直接测出的量称外变量。
硬化参量记为
目前常用的硬化参量有如下几种：
2 s
3
0
加载（后继屈服）条件
3J2 s 0
3J20
23sijsij 0
( dp)0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定
2. 随动强化
• 几何特点（在应力空间）： 形状和大小、方向保持不变，只是中心位置 发生改变，加载面作刚体移动。
• 物理意义： 材料在强化后为各向异性。
• 数学表示：
f (ijij) k = 0 ij是一个表征加载面中心移动的应力值，称为
加载面形状和中心位置都不变，大小变化， 形状相似的扩大。 • 物理意义： 假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。
• 数学表示： f (ij) k() = 0
等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈 服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限 都将因此而得到同等程度的提高。
Mises初始屈服条件
J2
f 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
加载
中性变载
卸载
对于硬化材料在软化阶段，加卸载条件 在应力空间无法体现。
可以在应变空间进行描述为：
0
ij
dij
0
0
ij
dij
0
0
ij
dij
0
加载 中性变载
卸载
5.3.2 流动法则
塑性位势理论：Mises将弹性位势理论 推广到塑性理论，提出塑性流动方向 （塑性应变增量矢量的方向）与塑性势 函数的梯度方向一致：
• 需要判断应变往塑性变形发展还是弹性 变化，即需要加卸载条件判断。
• 塑性变形时，应变和应力的关系如何， 需要流动法则来解决。
• 塑性变形后，材料屈服极限是否提高， 屈服曲面如何变化，由强化法则来判断。
加载条件和加载面
在单轴试验中，当应力超过初始屈服应 力后发生塑性变形，卸载后重新加载其 屈服应力将提高（强化）或减小（软 化）。推广到三维情况下，在空间应力 条件下这就相当于是加载面的移动、扩 大或缩小，