常用积分公式表·例题和点评
⑴ d k x kx c =+⎰ (k 为常数)
⑵ 1
1d (1)1
x x x c μμμμ+≠-=
++⎰
特别，
211d x c x x =-+⎰
, 3
22
3
x x c =+,
x c =+
⑶
1
d ln ||x x c x
=+⎰ ⑷ d ln x
x
a a x c a
=+⎰
, 特别，e d e x x x c =+⎰
⑸ sin d cos x x x c =-+⎰
⑹ cos d sin x x x c =+⎰
⑺
22
1
d csc d cot sin x x x x c x
==-+⎰
⎰
⑻
22
1
d sec d tan cos x x x x c x
==+⎰
⎰
⑼
arcsin (0)x
x c a a =+>,特别，
arcsin x x c =+
⑽
2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+⎰,特别，
2
1
d arctan 1x x c x =++⎰
⑾
2211d ln (0)2a x
x c a a x a a x +=+>--⎰
或
2211d ln (0)2x a
x c a x a a x a
-=+>-+⎰
⑿ tan d ln cos x x x c =-+⎰
⒀ cot d ln sin x x x c =+⎰
⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c
x x x x
c x ⎧-+⎪=
=⎨+⎪⎩
⎰⎰
⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c
x x x x c x ⎧++⎪=
=⎨⎛⎫
++ ⎪⎪
⎝⎭⎩
⎰
⎰
⒃
(0)
===ln a x x c >+
⒄
2(0)
===arcsin 2a a x x c a >+
⒅
2(ln 2
a a x x c >±+
⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax
ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩
⎰⎰
⒇
12222212
123
d ()2(1)()2(1)n
n n n x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-⎰
I I （递推公式） 跟我做练习
(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24
⑴
2)x x =
-[套用公式⒅]
1
ln (2)2
x =
- ⑵
[
1
(24)42
x x x =
-+⎰⎰
2145)2
2
x x x =
-++
=(请你写出答案)
⑶
2)x x =
-ln 2x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]
⑷
1
2x x =
2122x =
+
=(请你写出答案)
⑸
2)x x =
-232arcsin
23x -=[套用公式⒄]
⑹[1
(42)42
x x x =
---⎰
⎰
214)2
2
x x x =-
+-+
=(请你写出答案)
⑺
=
=2
arcsin
3
x -[套用公式⑼] ⑻
(42)4d 12
x x
--=
-212
2
=+-
=(请你写出答案)
例25 求原函数
4
1
d 1x x +⎰
. 解 因为
)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+
所以令
411x ++为待定常数）D C B A ,,,(
22=
从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B
解这个方程组(在草纸上做)，得21
,2
21,21,221=-==
=
D C B A . 因此， 4
1
d 1x x +
⎰
x x =+
右端的第一个积分为
1
4
x x x =
+
2
2
1
1d 4x x =
⎛+
⎝
⎭⎰(
套用积分公式)
21)1)x =
+++
+
类似地，右端的第二个积分为
2
1)1)x x =-+-⎰
所以
41
d 1x
x +
⎰
1)1)+-
（见下注）
【注】根据tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
++=
-⋅,则
tan 1)1)⎡⎤++-⎣⎦因此,
1)1)++-=例26 求
d (01)1cos x x εε<<-⎰
. 【关于d (01)1cos x
x
εε<<+⎰
，见例17】
解 令tan
2
x
t =(半角替换)，则 2
222222
cos cos sin 2cos 111222sec 1tan
22
x x x x x x =-=-=-=-+2
2
11t t -=+ 2
2
d d(2arctan )d 1x t t t ==+
于是，
2222
d 12d d 211cos 1(1)(1)11x
t t t x
t t t εεεε
=
=--+-++-+⎰
⎰⎰2
2d 111t
t εεε=
-+++⎰
c =+
2x c =
+ 【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式
()()
()lim
h y x h y x y x h
→+-'= 或d ()d y y x x '=
确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如
2
1e sin e
d ,
d ,d ,d ln x
x x
x x x x x
x
x
-⎰
⎰
⎰
⎰
等 都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。