湖南师大附中2019-2020高二第一学期数学第二次大练习
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.
21i
i
-(i 为虚数单位)的值等于( ) A.1
B.2
C.3
D.2
2.下列说法中错误．．
的是( ) A.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件
B.命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定为“0R x ∃∈，0sin 1x >”
C.命题“若x ，y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若x ，y 都不是偶数，则x y +不是偶数”
D.设命题:p 所有量数都是实数；命题:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 3.在等比数列{}n a 中，1n n a a +>，286a a ⋅=，465a a +=，则
4
6
a a 等于( ) A.
56
B.
65
C.
23
D.
32
4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
cos c
A b
<，则ABC ∆为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形
D.等边三角形
5.如图所示，使电路接通，开关不同的闭合方式共有( )
A.11种
B.12种
C.20种
D.21种
6.设函数()1
2f x x b
=
+-，若a 、b 、c 成等差数列(公差不为0)，则()()f a f c +=( ) A.2
B.4
C.b
D.2b
7.已知ABC ∆为等腰三角形，满足3AB AC ==，2BC =，若P 为底边BC 上的动点，则
()
AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r
( )
A.有最大值8
B.是定值2
C.有最小值1
D.是定值4
8.在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( )
A.
16
B.
13
C.
12
D.
23
9.已知1F ，2F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a ==，
且12PF F ∆最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是( )
0y ±=
B.0x =
C.20x y ±=
D.20x y ±=
10.已知椭圆()22222
2210,x y a b c a b c a b
+=>>>=+左、右焦点分别为1F ，2F .若2F 为圆心，b c -为半
径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT
的最小值不小于)2
a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )
A.30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦
B.35⎡⎢⎣⎭
C.⎫
⎪⎪⎝⎭
D.15⎡⎢⎣⎭
11.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '.若函数()f x 满足：()()()10x f x f x '--<⎡⎤⎣⎦，且
()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是( )
A.()()10f ef <
B.()()12ef f <
C.()()3
03e f f >
D.()()
5
14e f f -<
12.已知()3
2
31f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()()
,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是( )
A.[)2,+∞
B.13,8⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C.(],2-∞
D.13,
8⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.设24sin
5a π=，2sin 5b π=，2tan 5
c π
=，则a ，b ，c 的大小关系为__________. 14.已知0x >，0y >，且
21
1x y
+=，若222x y m m +<+有解，则实数m 的取值范围是__________.
15.已知函数()f x 是定义在[]2,3a -上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且
()22225a f m f m m ⎛
⎫-->-+- ⎪⎝
⎭，则m 的取值范围是__________.
16.已知函数(),0
ln ,0
x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值
范围是__________.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)
17.(10分)电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等.
(1)求a 的值；
(2)求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；
(3)从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过
122km 的概率.
(注：n 个数据12,,,n x x x L 的方差()()()
2222121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-++-⎢
⎥⎣⎦L ，其中x 为数据
12,,,n x x x L 的平均数)
18.(12分)已知向量2cos
,12x ⎛⎫= ⎪⎝
⎭a ，cos ,3cos 2x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭
b . (1)当⊥a b 时，求2cos sin 2x x +的值；
(2)设函数()()f x =-⋅a b a ，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()4f A =，
10a =，求ABC ∆的面积S 的最大值.
19.(12分)已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且1a ，3a ，7a 恰为等比数列{}n b 的前三项.
(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T ； (2)记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n
n n
S T c K =，求证：()*1N n n c c n +>∈.
20.(12分)在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 为棱BC 上，且3CD BD =，点E ，F 分别为棱AB ，1BB 的中点.
(1)证明：1
//AC 平面DEF ； (2)若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值.
21.(12分)已知抛物线()2
:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线1l ，2l ，其中直线1l ，2
l 关于直线2x =对称.
(1)求抛物线E 的方程及其准线方程；
(2)设直线1l ，2l 分别交抛物线E 于B ，C 两点(均不与A 重合)，若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.
22.(12分)已知函数()ln f x x x =，函数()()2
2
a g x x x a a =
+-∈R . (1)求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；
(2)函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；
(3)记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为1x ，2x ，且12x x <.已知0λ>，若不等式11
12
e x x λ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.
注：e 2.71818=L 为自然数的底数.。