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定理1指的是可测函数f 限制在 E 的一个闭子集上可以 是连续的，然而我们对一般闭集上的连续函数远不象
对区间或区域上的函数那样直观易理解，所以我们总
是希望用通常意义下的连续函数来描述可测函数。即
n
是说，对 E 上任意可测函数，我们能不能找到 R 上
的连续函数，使得它们在E 的一个测度充分接近 mE
n i 1
U ( x0 ) C Rn
i i0
Fi U ( x0 )
Fi U ( x0 )
Fi0 ,
当x ( x0 ) F时， | f ( x) f ( x0 ) || ci0 ci0 | 0
f ( x)在F 上连续。
2018年8月12日12时3分
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Fδ 为互不相交的闭集的并的条件不可少。比如：
下午12时3分27秒
⑵ f 在E上有界可测． 设 f 在E上可测，则存在简单函数列φn 在E上
收敛到 f ．
利用叶果洛夫定理，
存在集合 E0 E，使 φn 在E0 上一致收敛到
f ，且 m ( E－ E0 ) < /2，
可测函数与连续函数的关系
下午12时3分27秒
下午12时3分27秒
定理 1 （鲁津 Лузин） 设 f 是 E 上几乎
处处有限的可测函数，则对任意 > 0，存在闭
子集 F E，使 f 在F 上是连续函数，且
m( E \ F ) .
结论：连续函数与可测函数的关系：
连续函数一定是可测函数;
2018年8月12日12时3分
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由（1）知，存在闭集 Fi E0 ，i =1, 2, ， 使φi 限制在Fi 上是连续的，且
m( E0 \ Fi )
令
于是


2
i 1
.
F Fi E0 ,
i 1
m( E0 \ F ) m( E0 \ Fi ) m( ( E0 \ Fi ))
i 1

n
.
下证: f 在 Fδ 连续.
2018年8月12日12时3分
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下证: f 在 Fδ 连续.
x0 F Fi i0 , s.t.x0 Fi0
i 1
n
x0
i i0
Fi x0 C Rn
i i0
Fi (开集）
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可测函数未必是连续函数，但它“基本上”连 续.
2018年8月12日12时3分
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下午12时3分27秒
证明的方法分三步， ⑴ f 是简单函数． 设
f ( x ) ci Ei ( x ) ,
i 1
n
对任意可测集 E 及任 意 > 0，存在闭子集 F E，使 m ( E－F ) < (p75#8)．
的闭子集上相等．
这等价于说，闭集 F 上的连续函数可不可以连续地延 拓到 R 上？下面我们对R 情形来讨论这个问题．
2018年8月12日12时3分
n
1
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鲁津定理的另一形式： 定理 2 设 f 是 E R 上几乎处处有限的可测函数，
1
则对任意 > 0，存在闭集 F E 及R 上的连续函数 g ,
2018年8月12日12时3分
上一页 下一页 上可测．
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从上述定理的证明中可得：
闭集上的简单函数为连续函数． 叶果洛夫定理中的Eδ可取为闭集．
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2018年8月12日12时3分
i 1 i 1


m( E0 \ Fi )
i 1 i 1
2018年8月12日12时3分



2
i 1


2
.
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存在集合 E0 E，使 φn 在闭集F 上是一致收敛 到 f 的连续函数列，从而f 在F 上连续且 m ( E－ F )
m ( E－ E0 ) + m ( E0 － F ) < ．
2018年8月12日12时3分
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f ( x) 当 x F, f (bi ) f (a i ) ( x a i ) 当 x (a i , bi ), a i , bi 有限 f (a i ) bi a i g( x ) f (a i ), 当 x (a i , bi ), bi f (bi ), 当 x (a i , bi ), bi
n
其中 Ei 是互不相交的可测集，且 E Ei ,
i 1
于是对任意 > 0，存在闭集 Fi ⊂ Ei，且 m( E i Fi ) 令 F Fi ,
i 1
n i 1

n
,
n
则 Fδ 为闭集，f 在 Fδ 连续，且
n
m( E \ F ) m( ( Ei \ Fi ) m( Ei \ Fi ) n
使在F 上 g(x) = f(x)，且 m ( E－F ) < ．
1
此外还可要求 supg( x ) sup f ( x ) ,
xR1 xF
xR
inf1 g( x ) inf f ( x ) .
xF
证
由定理 1 ，存在闭集 F E ，使 f 在 F 上连续且
1
m ( E－F ) < ．下面将闭集 F 上的连续函数 f 延拓 成 R 上的连续函数．
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