1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈=R，则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。

特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。

定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是定义在E 上的有限实函数。

若对一切实数c ，集(){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。

特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。

定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数。

则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集。

证 设f 是可测函数，由于()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以()E c f d ≤<是可测集。

反之，若已知对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集，则由1()()n E c f E c f c n ∞=≤=≤<+立即得()E c f ≤是可测集。

证毕！例 1.5.1 定义在闭区间[,]E a b =上的任何一个连续函数f 都是E 上的Lebsgue 可测函数。

证 对任意实数c ，由f 的连续性，集(){(),[,]}E c f x c f x x a b ≤=≤∈是[,]a b 中的闭集（自习），因此()E c f ≤是可测集；故f 都是[,]a b 上的可测函数。

例1.5.2 设函数f 定义在(,)E =-∞∞上，,(1,2,,)i i a b i n = 是一组互不相交的区间，函数1,,(1,2,,),()0,(,),i i i ni ii x a b i n f x x a b α=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈==∈-∞∞-称为阶梯函数，它是E 上的Lebsgue 可测函数。

证 因为对任意实数c ，(){(),(,)}E c f x c f x x ≤=≤∈-∞∞或是全直线，或是空集，或是有限个区间的并，而这些都是Lebsgue 可测集，所以f 是(,)-∞∞上的可测函数。

例 1.5.3 设(,)X R 是可测空间，,i E E ∈R ，1,2,,i n = ，1i i E E∞=⊂ ，且,i j E E i j =∅≠ . f 是定义在E 上的函数，且1,(1,2,,),0,,()i i ni i x E i n x X E f x α=⎧⎪⎨⎪⎩∈=∈-=则f 是E 上的可测函数。

例1.5.4 (不可测函数的例) 1(,)R L 是Lebsgue 可测空间，Z 是Lebsgue 不可测集，()f x 是Z 的特征函数()Z x χ，1x ∈R . 因为(){}111122(),Z Z x x x Z χχ≤=≥∈=R R是Lebsgue 不可测集，所以函数()Z x χ不是1R 上的Lebsgue 可测函数。

例1.5.5 也有这样的可测空间(,)X R ，定义在X 上的所有函数都是可测函数。

例如，取2X =R （此时R 是一个σ-代数），f 是定义在X 上的任意一个有限实函数，对任意实数c ，显然(){(),}X c f x c f x x X ≤=≤∈∈R ，故f 是X 上的可测函数。

1.5.2 可测函数的性质定理1.5.2 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数，则(1) 若f 是E 上的可测函数，则E 必是可测集；反之不然（为什么？）。

(2) 若f 是E 上的可测函数，1E E ⊂可测，当f 作为1E 上的函数时，f 是1E 上的可测函数；(3) 设1212,E E E E E =∅= ，若12,E E 是可测集，则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：f 是12,E E 上的可测函数。

(4) 集E 是可测集的充分必要条件是：集E 的特征函数()E x χ是X 上可测函数。

证 (1) 因为1()n E E n f ∞==-≤ ，而根据可测函数的定义，集()E n f -≤是可测集，所以E 是可测集。

反之不然。

因为对E ∀∈L 且()0m E ≠，都存在,F E F ⊂∉L . 若E ∈L ，其任意子集都∈L ，则()0m E =.(2) 对任意实数c ，由于11()()E c f E c f E ≤=≤ ，而()E c f ≤和1E 都是可测集，所以1()E c f ≤是可测集，即f 作为1E 上的函数时，它是1E 上的可测函数。

(3) 设f 是E 上的可测函数，由(2)知：f 是12,E E 上的可测函数。

反之，若f 是12,E E 上的可测函数，对任意实数c ，由于12()()()E c f E c f E c f ≤=≤≤ ，所以()E c f ≤是可测集，即f 作为E 上的可测函数。

(4) 必要性：设集E 是可测集。

因为,1,(()),01,,0,E c X c x E c X c χ⎧⎪⎨⎪⎩∅>≤=<≤≤ 而,,E X ∅都是可测集，所以()E x χ是X 上的可测函数。

充分性：设()E x χ是X 上的可测函数。

由上面的式子知，当01c <≤时，(())E E X c x χ=≤.而()E x χ是X 上的可测函数，故(())E X c x χ≤是可测集，即E 是可测集。

证毕！ 注 性质(3)可以推广到有限个或可列个可测集12,,,,n E E E ，并且i j E E ≠∅ 的情况。

定理1.5.3 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数，则下面三个条件中的任何一个都是f 是E 上的可测函数的充分必要条件：(1) 对任意实数c ，()E c f <是可测集； (2) 对任意实数c ，()E f c ≤是可测集； (3) 对任意实数c ，()E f c <是可测集。

定理1.5.4 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，,f g 都是E 上的可测函数，则(1) 对任意实数α，f α是E 上的可测函数； (2) f g +是E 上的可测函数；(3) f g ⋅及f g （对,()0x E g x ∀∈≠）是E 上的可测函数； (4) max(,),min(,)f g f g 都是E 上的可测函数。

推论1 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，12,,,n f f f 都是E 上的可测函数，则对任意实数12,,,n ααα ，1122n n f f f ααα+++ 是E 上的可测函数。

推论2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是E 上的可测函数，则f 是E 上的可测函数。

In fact 由m ax(,)f f f =-知：f 是E 上的可测函数。

1.5.3 可测函数的极限定理1.5.5 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，若{}n f 是E 上的一列可测函数，则当{}n f 的上确界函数、下确界函数、上限函数、下限函数分别是有限函数时，它们都是E 上的可测函数。

推论 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，若{}n f 是E 上的一列有限的可测函数，若对一切x E ∈，lim n n f →∞存在，而且有有限值，则极限函数lim n n f →∞是E 上的可测函数。

定理1.5.6 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，若f 是E 上的有限可测函数，则必存在一列{}n f ，每个n f 是可测集的特征函数的线性组合，使得{}n f 在E 上处处收敛于f .注 定理1.5.6说明：用可测集的特征函数的线性组合可以逼近可测函数。

※推论 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，若f 是E 上有界的可测函数，则必存在可测集的特征函数的线性组合的函数序列{}n f ，使得{}n f 在E 上一致收敛于f . 注 f 是E 上的有界函数是指：0M ∃>，对x E ∀∈，都有()f x M ≤.f 是E 上的有限函数是指：x E ∀∈，都有()f x <∞. 即：函数值都是有限实数的函数称为有限函数。

显然有界函数是有限函数，反之则不然。

例如：()1f x x =在(0,1)内的任意函数值都是有限的，但它是(0,1)内的无界函数。

1.5.4 Lebsgue 积分及其性质定义 1.5.3 设(,,)X μR 是测度空间，E 是一个可测集，()E μ<∞，f 是定义在E 上的可测函数，设f 是有界的（即：存在实数,c d ，使得()(,)f E c d ⊂），在[,]c d 中任取一分点组011:n n D c l l l l d -=<<<<= .记111()max (),()i i i i i i nD l lE E l f l δ--≤≤=-=≤<，并任取11[,](1,2,,)i i i l l i n ξ--∈= ，作和式1()()ni i i S D E ξμ==⋅∑，称它为f 在分点组D 下的一个“和数”. 若存在数s ，它满足如下条件：对0,0εδ∀>∃>，使得对任意分点组D ，当()D δδ<时，有()S D s ε-< (即：()0lim ()D s S D δ→=),则称f 在E 上关于测度μ是可积（分）的，并称s 是f 在E 上关于测度μ的积分，记作d Es f μ=⎰.特别地，当测度空间(,,)X μR 是Lebsgue 测度空间1(,,)m R L ，f 关于测度m 可积时，称f 是Lebsgue 可积函数；称s 是f 在E 上关于测度m 的Lebsgue 积分，记作()d EL f x ⎰. 通常就简记作d Ef x ⎰.当[,]E a b =时，Lebsgue 积分又记作d ba f x ⎰.定理 1.5.7 设(,,)X μR 是测度空间，E ∈R ，且()E μ<∞，则E 上的一切有界可测函数f （关于测度μ）必是可积的。