⎩0<h(x)-g(x)<m 函数31．（本小题满分14分）已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取得极小值m-1(m≠0)．设f(x)=g(x) x．（1）若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；（2）k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点．32．（20XX年高考福建卷理科10）对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x∈D,使得当x∈D且x>x时,总有00⎧0<f(x)-h(x)<m⎨,则称直线l:y=kx+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下:①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) .年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ⎨ x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。

2x 2 +1 xlnx+1 2x 2x lnx x+1其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是()A. ①④B. ②③C.②④D.③④33.(20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任意3 xx ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m )2 m恒成立，则实数 m 的取值范围是。

34 ．（ 20XX⎧ 2⎩1, x < 0f (1- x 2 )> f ( 2x 的x 的范围是__▲___。

35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线(梯形的周长） 梯形的面积36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 .（Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .(x ), f (x ) > f (x ) ⎨ ⎩37（20XX 年高考江苏卷试题 20）（本小题满分 16 分）设 f ( x ) 是定义在区间 (1,+∞) 上的函数，其导函数为 f '( x ) 。

如果存在实数 a 和函数h ( x ) ，其中 h ( x ) 对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 h ( x ) >0，使得 f '( x ) = h( x )( x 2 - ax + 1) ，则称函数 f ( x ) 具有性质 P(a) 。

(1)设函数 f ( x ) = ln x + b + 2x + 1( x > 1) ，其中 b 为实数。

(i)求证：函数 f ( x ) 具有性质 P(b ) ； (ii)求函数 f ( x ) 的单调区间。

(2)已知函数 g ( x ) 具有性质 P(2) 。

给定 x , x ∈ (1,+∞), x < x , 设 m 为实数，1 212α = mx + (1 - m ) x ， β = (1 - m ) x + mx ，且 α > 1, β > 1 ，1 212若| g (α ) - g (β ) |<| g ( x ) - g ( x ) |，求 m 的取值范围。

1 238. (20XX 年全国高考宁夏卷 21）（本小题满分 12 分）设函数 f ( x ) = e x - 1 - x - ax 2 。

（1） 若 a = 0 ，求 f ( x ) 的单调区间；（2） 若当 x ≥ 0 时 f ( x ) ≥ 0 ，求 a 的取值范围39.（江苏卷 20）若 f (x ) = 3x - p 11(x ), f (x ) ≤ f (x ) (x ) = ⎧⎪ f 1且 f1 2 ⎪ f 212， f2(x ) = 2 3 x - p 2， x ∈ R, p , p 为常数，1 2（Ⅰ）求 f (x ) = f 1(x ) 对所有实数成立的充要条件（用 p , p 12 表示）；（Ⅱ）设 a, b 为两实数， a < b 且 p , p12(a, b ),若 f (a ) = f (b )已知函数 f (x ) =1） （Ⅱ）设 x 为 f ( x ) 的一个极值点，证明[ f ( x )]2=x1 + x2 < a求证： f (x )在区间 [a, b ]上的单调增区间的长度和为 b - a（闭区间 [m , n ]的长度定义为2n - m ）．40.（江西卷 22 ．（本小题满分 14 分）1ax + +1 + x 1 + aax + 8， x ∈ (0, + ∞ )．(1) ．当 a = 8 时，求 f (x )的单调区间；(2) ．对任意正数 a ，证明：1 < f (x ) < 2 ．41.（天津）设函数 f ( x ) = x sin x ( x ∈ R) .（Ⅰ）证明 f ( x + 2k π ) - f ( x ) = 2k π sin x ,其中为 k 为整数；0 4 02；（Ⅲ）设 f ( x ) 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a , a , , a , , 1 2 n证明πn +1- a < π (n = 1,2, ) 。

n（2）已知： n ∈ N 且n ≥ 2 ，求证： + + + < ln n < 1 + + + 。

（1）已知： x ∈ (0 + ∞) ，求证 1 x + 1 1< ln < ；x + 1 x x1 1 1 1 12 3 n 2 n - 11 1（1）令1 + = t ，由 x>0，∴t>1， x =x t - 11原不等式等价于1 - < ln t < t - 1t令 f(t)=t-1-lnt ，1 ∵ f '(t ) = 1 - 当 t ∈ (1,+∞) 时，有 f '(t ) > 0 ，∴函数 f(t)在 t ∈ (1,+∞) 递增t∴f(t)>f(1)即 t-1<lnt另令 g (t ) = ln t - 1 + 1 ，则有 g '(t ) = tt - 1t 2 > 0∴g(t)在 (1,+∞) 上递增，∴g(t)>g(1)=0∴ ln t > 1 -1t综上得 1 x + 1 1< ln <x + 1 x x（2）由（1）令 x=1,2,……(n-1)并相加得1 1 123 n 1 1 + + + < ln + ln + + ln < 1 + + + 2 3 n 1 2 n - 1 2 n - 11 1 1 1 1即得 + + + < ln < 1 + + +2 3 n 2 n - 1利用导数求和42 利用导数求和：（1） ；（2）。

单调区间讨论43 设 a > 0 ，求函数 f ( x ) =x - ln( x + a)( x ∈ (0,+∞) 的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.t (44 已知函数 f ( x ) = x - 2 x+ a(2 - ln x),( a > 0) ，讨论 f ( x ) 的单调性.分离常数45 已知函数 f ( x ) = x ln x .（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小值；（Ⅱ）若对所有 x ≥ 1 都有 f ( x ) ≥ ax - 1 ，求实数 a 的取值范围.46 已知 f (x ) = x ln x, g (x ) = x 3 + ax 2 - x + 2(Ⅰ)求函数 f (x )的单调区间;(Ⅱ)求函数 f (x )在 [ , t + 2] t > 0)上的最小值;(Ⅲ)对一切的 x ∈ (0,+∞ ), 2 f (x ) ≤ g ' (x )+ 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.．47 已知函数 f ( x ) = ln x , g ( x ) =调区间；a x(a > 0) ,设 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) （Ⅰ）求函数 F ( x ) 的单（Ⅱ）若以函数 y = F ( x )( x ∈ (0,3]) 图像上任意一点 P( x , y ) 为切点的切线的斜率 k ≤0 0恒成立，求实数 a 的最小值；1248 设函数 f ( x ) = x 2 + b ln( x + 1) ，其中 b ≠ 0 ；（Ⅰ）若 b = -12 ，求 f ( x ) 在 [1,3]的最小值；（Ⅱ）如果 f ( x ) 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）是否存在最小的正整数 N ，使得当 n ≥ N 时，不等式 ln n + 1 n - 1 >n n 3恒成立.0 50 设函数 f ( x ) = x 3- x 2+ 6 x - a ．（1）对于任意实数 x ， f '( x ) ≥ m 恒成立，求 m 的最49 设函数 f ( x ) = - x ( x - a)2 （ x ∈ R ），其中 a ∈ R ．（Ⅰ）当 a = 1 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；（Ⅱ）当 a ≠ 0 时，求函数 f ( x ) 的极大值和极小值；（Ⅲ）当 a > 3 时，证明存在 k ∈ [-1，]，使得不等式 f (k - cos x) ≥ f (k 2 - cos 2 x) 对任意的 x ∈ R 恒成立．9 2大值；（2）若方程 f ( x ) = 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围．f '(a )a - ax51 已知函数 f ( x ) = x 2 + x - 1 ， α , β 是方程 f (x)=0 的两个根 (α > β ) ， f '(x) 是 f (x)的导数；设a = 1 ， a1n +1 = a - f (a n )（n=1,2,……）n n（1）求 α , β 的值；（2）证明：对任意的正整数 n ，都有 a >a ； n（3）记 b = ln a n-β nn（n=1,2,……），求数列{b n }的前 n 项和 S n 。