年南京外国语学校高中招生考试数学冲刺试题（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某种生物孢子的直径为0.000 63 m ，用科学记数法表示为（ ）．A ．0.63×10－3 mB ．6.3×10－4 mC ．6.3×10－3 mD ．6.3×10－5 m 2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（ ）．A ．a 2 + b 2B ．－a 2－b 2C ．（－a 2）+（－b ）2D ．（－a ）2 +（－b ）2 3．P 是反比例函数图象上的一点，P A ⊥y 轴于A ，则⊥POA 的面积等于（ ）． A ．4 B ．2 C ．1 D ．4．在⊥ABC 中，⊥C = 90︒，AC = 4，BC = 3，则⊥ABC 外接圆的半径为（ ）． A ．B ．2C ．D ．3 5．若关于x ，y 的方程组有无数组解，则a ，b 的值为（ ）．A ．a = 0，b = 0B ． a =－2，b = 1C ． a = 2，b =－1D ． a = 2，b = 1 6．汽车由绵阳驶往相距280千米的乐山，如果汽车的平均速度是70千米／小时，那么汽车距乐山的路程s （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系用图象表示应为（ ）．A ．B ．C ．D ． 7．已知弓形的弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）． A ． B ．C ．3D ．4 8．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该 几何体的表面积是（球的表面积公式为4πR 2）（ ）．xy 2=212325⎩⎨⎧=+-=++012,01y bx ay x 325t /小Os /千米4 280t /小Os /千米4 280t /小Os /千米4 280t /小Os /千米4 280俯视主视图左视图2 32 2A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）．分数 5 4 3 2 1 人数2010303010A ．B ．C ．3D ．10．若二次函数y = x 2 +（k 2－1）x + k －1与x 轴的两个交点关于原点对称，则k 的值为（ ）． A ．1或－1 B ．1 C ．－1 D ．0 11．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转 30︒ 到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）． A ．1－B ．C ．1－D ．12．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高点到水平线的距离为（ ）． A ．B ．C ．D ．2二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上． 13．若︱x ︱= 6，则 x = ． 14．函数中自变量x 的取值范围是 ． 15．如果对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么实数a 、b 的取值情况是 ． 16．矩形纸片ABCD 中，AD = 9，AB = 12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长的是 ．35102583333432111024170410241705102412-=x xy ABCDD ′C ′B ′30︒CP第一层 第二层 第三层 第四层17．如图，在小山的东侧A 庄有一热气球，由于受西风的影响， 以每分钟35 m 的速度沿着与水平方向成75︒的方向飞行，40 min 时 到达C 处，此时气球上的人发现气球与山顶P 点及小山西侧的B 庄在一条直线上，同时测得B 庄的俯角为30︒，又在A 庄测得山顶P 的仰角为45︒．则A 庄与B 庄的距离为 ，山高是 ． （保留准确值）18．如果有2009名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1、…… 的规律报数，那么第2009名学生所报的数是 ．三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）先化简，再求值：（a 2b －2ab 2－b 3）÷ b －（a + b ）（a －b ），其中，b = 1．（2）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．21-=a ⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-,221,132x x x20．（本题满分12分）六一国际儿童节时，某初级中学开展了向山区“希望小学”捐赠图书活动．全校1200名学生每人都捐赠了一定数量的图书．已知各年级人数比例分布扇形统计图如图⊥所示．学校为了了解各年级捐赠情况，从各年级中随机抽查了部分学生，进行了捐赠情况的统计调查，绘制成如图⊥的频数分布直方图． 根据以上信息解答下列问题：（1）从图⊥中，可以看出人均捐赠图书最多的是 年级； （2）估计九年级共捐赠图书多少册？ （3）全校大约共捐赠图书多少册？21．（本题满分12分）一个家庭有3个孩子．（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．九年级 35%八年级七年级 35%图⊥八 年 级 九 年 级O七 年 级 年级人均捐65 4.5图⊥22．（本题满分12分）如图，⊥ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、 AC 上，连接DE 并延长交BC 的延长线于点，连接DC 、BE ，若 ⊥BDE +⊥BCE = 180 ．（1）写出图中三对相似三角形；（注：不再添加字母和线） （2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们 相似的理相由．23．（本题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = ）购地总费用建筑总面积CDA BEF24．（本题满分12分）如图甲，直线P A 交⊥O 于A 、E 两点，P A 的垂线CD 切⊥O 于点C ，过点A 作⊥O 的直径AB ． （1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）如图乙，将直线CD 向下平行移动，得到CD 与⊥O 相切于C ，AC 还平分∠DAB 吗？说明理由；（3）在将直线CD 向下平行移动的过程中，如图丙、丁，试指出与∠DAC 相等的角（不要求证明）．甲 乙 丙 丁OBE AP CDED C F OBAAD C FOB E CDOBE A25．（本题满分14分）在矩形AOBC 中，OB = 4，OA = 3．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合）， 过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：⊥AOE 与⊥BOF 的面积相等；（2）记S = S ⊥OEF －S ⊥CEF ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将⊥CEF 沿EF对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．xkyBMNECF AOxyBECF AOxy参考答案一.1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.C 二.13.±6 14. x ≠±1 15.a = 0，b ＜0 16. 17. 1400m ， 700（－）m 18.1三. 19．（1）原式=（a 2－2ab －b 2）－（a 2－b 2）=－2ab =－2×（）×1 = 1． （2）－1≤x ＜2 20．（1）八．（2）九年级的学生人数为1200×35% = 420（人），捐赠图书 420×5 = 2100（册）． （3）七年级的学生人数为1200×35％= 420（人），捐赠图书 420×4.5 = 1890（册）． 八年级的学生人数为1200×30％= 360（人），捐赠图书为360×6 = 2160（册）． 全校大约共捐赠图书为 2100 + 1890 + 2160 = 6150（册）． 答：估计九年级共捐赠图书2100册，全校大约捐赠图书6150册． 21．用“树状图”列出所有结果为：共有（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，男，男）八种可能的情形． ⊥ 这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为，这个家庭至少有一个男孩的概率． 445262218387男女男女 男女男 女男女男 女男女22．（1）⊥ADE ⊥⊥ACB ，⊥AEB ⊥⊥ADC ，⊥CEF ⊥⊥DBF （2）证明略 23．设楼房每平方米的平均综合费为y 元，则（x ≥10，x 是整数）=≥2000． 当且仅当，得 x = 15，y 取最小值2000． 所以为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层． 24．（1）连结OC ．⊥ OA 、OC 是⊥O 的半径，⊥ OA = OC ，得 ⊥OAC =⊥OCA ． ⊥ CD 切⊥O 于点C ，⊥ CD ⊥OC ．又 ⊥ CD ⊥P A ， ⊥ OC ⊥P A ，于是得⊥P AC =⊥OCA ， 故 ⊥OAC =⊥P AC ，表明AC 平分∠DAB ． （2）AC 平分∠DAB ．连结OC ． ⊥ CD 切⊥O 于C ，⊥ CD ⊥OC ．又 ⊥ AD ⊥CD ，⊥ OC ⊥AD ，于是得⊥COB =⊥DAB ． 而 OA = OC ，所以 ⊥CAO =⊥ACO ，因此 ∠DAC =⊥ACO =⊥CAO ，表明AC 平分∠DAB ． （3）∠DAC =∠BAF ．25．（1）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），⊥AOE 与⊥BOF 的面积分别为S 1，S 2， 由题意得 k = x 1y 1，k = x 2y 2．⊥ S 1 =x 1y 1 =k ，S 2 =x 2y 2 =k ， ⊥ S 1 = S 2，即⊥AOE 与⊥BOF 的面积相等． （2）由题意知：E ，F 两点坐标分别为 E （，3），F （4，）， ⊥ S ⊥CEF =CE ·CF =（4－）（3－）， 于是 S ⊥OEF = S 矩形OABC －S ⊥OAE －S ⊥OBF －S ⊥CEFxx x x y 10800485602000100002160)48560(++=⨯++=3048)15(48560)225(485602⨯+-+=++x x x x xx 15=212121213k 4k21213k 4k= 12－k －k －S ⊥CEF ， ⊥ S = S ⊥OEF －S ⊥CEF = 12－k －2×（4－）（3－）， 得 ， ⊥ 当 k = 6时，S 有最大值3．（3）设存在这样的点F ，将⊥CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN ⊥OB ，垂足为N ．由题意得 EN = AO = 3，EM = EC = 4－，MF = CF = 3－． ⊥ ⊥EMN +⊥FMB =⊥FMB +⊥MFB = 90︒， ⊥ ⊥EMN =⊥MFB ． 又 ⊥ ⊥ENM =⊥MBF = 90︒，⊥ ⊥ENM ⊥⊥MBF ， ⊥ EN : MB = EM : MF ， 代入值，可得 ． ⊥ MB 2 + BF 2 = MF 2， ⊥ （）2 +（）2 =（3－）2，解得 ． ⊥ BF ==，即存在符合条件的点F ，它的坐标为（4，）．2121213k 4k3)6(12112122+--=+-=k k k S 3k 4k49=MB 494k 4k 821=k 4k 32213221。