性质4
310 2 E(X ) E(Y) 3 5
30 2103 3 5 92
5
例2.(二项分布 B(n,p)) 设单次实验成功的概率 是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？
解: 引入
1, X i 0,
第i次试验成功， 第i次试验不成功。
则
X＝ X1+ X2 +…+ Xn
是n次试验中的成功次数。
1, 第k次生产的第i件产品是正品； X ki 0，否则. k 1,2,,10, i 1,2,,100, 则
10 100
X
X ki.
k 1 i1
12
例5.（续）
而X ki服从 p ek 的( 0 — 1)分布，E( X ki ) ek . i 1,2,,100, 所以
10 100
pij X -1
0
Y
-1
18
18
0
18
0
1
18
18
pi•
38 28
1 p• j
18 38 18 28 18 38
38
2
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E(X ) E(Y ) 0; E( XY ) 0; E(XY ) E(X )E(Y )
但 P(X 0,Y 0) 0
P( X
0)P(Y
因此， EX E(X1) E(X 2 ) E(X n ) np.
这里， X～B(n,p)。
6
例3.将4 个可区分的球随机地放入4个盒子中,每 盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望.
解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分布为
X0 4!
P 44
1
C41C31C42 44
2!
144 44
1 M
)n .
i 1 , 2 ,, M.
E( X i
)
1
(1
1 M
)n ,
i 1 , 2 ,, M.
10
E( X i
)
1
(1
1 M
)n ,
i 1 , 2 ,, M.
E( X ) E( X 1 X 2 X M ) E( X 1) E( X 2) E( X M)
M
1
(1
2
C42 (24 44
2)
84 44
3
C41 44
4 44
24 144 84 4 81
E(X ) 0 44 1
44
2 44 3 44
64
7
解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4. 1, 第i盒空，
X i 0, 其它，
X X1 X2 X3 X4
Xi 1
0
P
3 4
15
§4.2 随机变量的方差
前面我们介绍了随机变量的数学期望， 它体现了随机变量取值的平均，是随机变 量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道随机变量 取值的平均是不够的.
16
例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发 炮弹，其落点距目标的位置如图：
• •
中•心 ••
•
•
•
••
••中•••心•• •••
每个随机变量Xi 都服从两点分布,i =1,2,…,M.
9
因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子 内的概率为(1-1/M).
故，n个球都不落入这个盒子内的概率为 (1-1/M)n ,即:
P{ Xi
0}
(1
1 M
)n
,
P{ Xi
1} 1 (1
4
1
3 4
4
E(X
)
4
3 4 4
81 64
E(
X
i
)
3 4
4
8
例4.将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各 个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。
解: 引入随机变量:
1 X i 0
若第i个盒子中有球 若第i个盒子中无球
i 1 , 2 ,, M
则 X=X1+X2+…+XM , 于是 E(X) = E(X1)+E(X2)+ …+E(XM) .
14
解：设第j个产品的利润
Yj＝
s-c，
-c,
第j个产品是正品， 第j个产品是次品。
j＝1,2, ，N。
则 SN Y1＋Y2＋...+YN为N件产品的总利润。
由已知 Yj -c
s-c
Pq
p
由于 EYj＝s－c p－cq＝sp－c，j＝1，2，...N， 因此，ESN＝EY1＋EY2＋...+EYN N sp－c。
1 M
)n
.
注：129页4.27以此题为模型。
11
例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随 着该机器所用次数的增加而指数下降，即 P{第k次生产出的产品是正品}= ek ,k 1,2,, 0. 假设每次生产100件产品，试求这台机器前10 次生产中平均生产的正品总数。
解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设
10
E(X )
E( X ki ) 100ek
k 1 i1
k 1
10
100
k 1
ek
100e (1 e10 ) 1 e
13
例6. 某厂家的自动生产线， 生产一件正品的 概率为 p (0<p<1)，生产一件次品的概率为 q=1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的 价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产 一件正品获利s－c元， 生产一件次品亏损c 元（假定每个产品的生产过程是相互独立的 ）。 若生产了N件产品，问厂家所获利润的 期望值是多少？
0)
2 2
8
3
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则
由≥0 得：
f (x) 0, x 0 ,
所以
EX x f (x)dx x f (x)dx 0.
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。
乙炮
甲炮射击结果 乙炮射击结果
B. 数学期望的性质
E (C ) = C E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E
n i1
ai X i
C
n i1
ai E( X i )
C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
1
注 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立. 反例
而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。 4
例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y 相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
性质2和3 E(3X 2XY Y 5) 3E(X ) 2E(XY ) E(Y ) E(5)