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收稿日期： 基金项目：上海市重点学科建设项目（编号：B101） ；作者衷心感谢 2009 年 12 月“复旦大学博士生学 术论坛经济分论坛”上陈诗一和戚顺荣的评论和建议。 作者简介：朱钧钧（1977-） ，男，复旦大学经济学院数量经济学专业博士生，研究方向：金融时间序列 分析，贝叶斯分析；谢识予（1962-） ，男，复旦大学经济学院数量经济学教授，研究方向：计量经济分析， 经济增长理论。
3 模型的 MCMC 估计
3.1 MCMC 估计方法
首先设定各组参数的先验概率密度函数。对于 ARCH 参数，通常采用正态分布假设，
S ~ N ( S , VS ) I{
否则等于 0，即，
S}
其中 I{ S } 是 GARCH 参数的示性函数，在满足 GARCH 参数的限制时，该示性函数等于 1，
j 1
S
(7)
其中， c 是不重要的常数， i 指模型除了 i 的所有参数。这个条件概率密度函数就是 Dirichlet 分布函数的核的对数值。 根据贝叶斯法则， St 的条件概率密度函数
p ( St | y , S , S t )
p ( St i , S t , y | S ) p ( y | S , S t , S t i ) p ( S t i , S t | S ) p( St , y | S ) p( S t , y | S ) p( y | S , S t , St i ) ji ik
** ** **
MS(2)-ARCH(3) 0.0002
-5
MS(3)-ARCH(3) -0.0020 (0.0022) 0.0005** 0.1392 0.1693 0.0826 0.0211
和i
( j 1)
，通过 Metropolis-Hasting 取样法得到 ARCH 参数的第
( j 1) 次模拟值 St ( j 1) 。
不断重复以上三步各参数的模拟， 直至参数模拟值各自收敛， 这些收敛之后的参数模拟 数的平均值和标准差就是 MCMC 模拟法的参数估计结果。
3.2 模型的 MCMC 估计结果
1 引言
股市的金融计量模型是从研究股市波动率开始的，Engle (1982)提出 ARCH 模型，对波 动率聚类的进行了建模， 这个结果迅速后被用于金融时间序列的分析， 并提出一系列的模型， [2] 形成 GARCH 模型族，其中比较著名的有 GARCH 模型 、EGARCH 模型[3]和 GJR 模型[4]。 但是 GARCH 模型族面临的一个质疑是它没有考虑金融时间序列因为结构突变所形成 的不同状态[5]。Lamoureux and Lastrapes（1990）对收益率数据加入结构突变，进行模拟试 验后得出，结构突变能显著降低 GARCH 模型的持久性参数。因而，不能排除波动的聚类还 来源于结构突变。Smith（2002）和 Maekawa 等(2005)分别在美国和日本股市中发现明显的 结构突变现象。 之后，Hamilton 和 Susmel (1994)，以及 Cai (1994)最先结合结构突变，将马尔可夫转 换模型运用于股市波动性的分析中，提出马尔可夫转换 -ARCH 模型（ Markov Switching ARCH Model， 简称 MS-ARCH Model） 。 观察到股市波动率高的状态往往是经济比较低迷时， Hamilton 和 Lin (1996)又结合经济周期，用双变量马尔可夫转换模型进一步估计股市波动 性， 得出经济萧条是股市高波动率的最重要的影响因素。 在亚洲股市的研究中， Fong (1997) 将此模型用于分析日本股市的波动性，Li 和 Lin (2003)分析了台湾股市的波动性。 上述马尔可夫转换模型都是用极大似然法估计的， 但是极大似然法有很大的局限， 比如 它不能确定是否找到了最高似然值。 而另一种估计方法 — 马尔可夫链蒙特卡罗法 （MCMC Method） ，可以很好的弥补这个缺陷。自从 Albert 和 Chib (1993)将 MCMC 模拟法首度用于 马尔可夫转换模型的估计以来，该方法的应用发展很快。Kaufmann 和 Fruehwirth-Schnatter (2002)用此方法估计了马尔可夫转换 ARCH 模型； Smith (2002)估计了马尔可夫转换随机波 动模型。Das 和 Yoo (2004)，以及 Henneke 等(2006)分别估计了 MS-GARCH 模型。
1 S
i 1 j 1
S
S
(6)
其中 c 为常数项，nij 为状态序列中相邻时间点从状态 i 向状态 j 转换的次数。公式(6)显示转 移概率向量 i 只同状态序列 {St }t 1 有关，即
T
log( i | y, i ) c (aij nij 1) log( ij )
2 马尔可夫转换-ARCH 模型
本文模型参考 Henneke 等(2006)和 Rachev 等(2008)，假设 n 个状态，每个时间点所处 状态 St 随机出现， 状态之间的转换服从马尔可夫转移概率矩阵， 记 ij 是从状态 i 到状态 j 的 转移概率。马尔可夫转换-ARCH 模型表述如下：
i ~ Dirichlet (ai1 , ai 2 ,..., aiS )
(4)
率 i 的条件概率密度函数，以及 GARCH 参数的似然函数。
为了进行 MCMC 模拟，先求出后验概率密度函数，然后分别计算状态序列 St 和转移概 (5)
后验概率密度函数 p ( , , S | y ) p ( y | , , S ) p ( ) p ( ) 其自然对数函数为
yt St t
ht St q , St q t2 q
q 1 Q
(1)
(2)
t ~ N (0, ht )
其中， St , St ,{ q , St }q 1 各参数依赖于 t 时期的状态 St ， ht 是条件方差序列。
Q
一般而言，方程(1)又称为均值方程，而方程(2)称为方差方程。其中均值方程没有包括 任何自回归项或移动平均项，因为在对 AR-ARCH 建模过程中，本文发现 t 服从 t 分布的假 设将使自回归项不再具有统计显著性。
( j)
( j)
和转移概率 i 的模拟值；
( j)
，通过状态序列 St 的条件概率密度函
T ( j 1)
和 {St }t 1 ；
T ( j 1)
，通过转移概率 i 的条件概率密度函数取得转移概率
的第 ( j 1) 次模拟值 i
( j 1)
第三步：基于 {St }t 1
T ( j 1)
1, I{S } 0,
S 0,{ q , S }Q q 1 0, S q , S 1
q 1 Q
Q
(3)
S 0,{ q , S }Q q 1 0, S q , S 1
q 1
转移概率 i 的先验概率密度函数设定为
( yt St i ) 2 1 T log h St i 2 t q 1 hSt i
(9)
因为 St 通过残差影响条件方差 ht ， St 将出现在方括号中的三个地方，使公式(9)复杂化。 ARCH 参数的条件概率分布不再是标准分布， 为了得到该后验概率分布的随机取样值， 本文 用随机游走 Metropolis-Hasting 取样法。 MCMC 模拟将 MS-ARCH 模型的估计分解成以下几步： 第一步：基于 ARCH 参数 St 数取得第 ( j 1) 次随机序列 {St }t 1 第二步：基于 St
本文上证综指的数据来源于 Wind 资讯，共采集了 1994 年 12 月 30 日至 2009 年 10 月 15 日的共 740 个周收盘价，然后通过收盘价的自然对数之差得到 739 个连续周收益率。为 了消除极值的负面影响，本文把这些数据中绝对值大于 0.15 的收益率都变为 0.15，这样的 极值共有 4 个，其中三个发生在 1995 年，一个发生在 1996 年。1996 年 12 月之后，由于中 国证监局实行了涨跌停板制，就再没有发生周涨跌幅超过 15%的波动了。 根据经验，MS-ARCH 模型的状态数一般较小，不会超过 3 个。因此，本文只估计了两 状态和三状态 MS-ARCH 模型。本文用 Matlab 软件编程，共进行了 30000 次模拟。对模拟 结果进行 Smith 和 Robert (1992)的收敛性检验证实参数收敛。至于参数随机值的接受概率， 第一、第二和第三状态分别为 22%、48%和 46%。三个接受概率都在 20%到 75%的最佳概 率区间。 将参数随机中前面 10000 个模拟值作为废弃数据 （burn-in data） 处理， 并根据后面 20000 个模拟数据求参数的平均值和标准差，得到的结果如表 1 所示。为了比较模型，本文同时估 计了 ARCH(3)模型。 表 1 显示了三个模型的估计结果。各个状态的 项具有 5%的统计显著性，其他参数除 了 S 2 皆不显著。但是，每个状态的 参数相加则具有统计显著性，比如 MS(3)-ARCH(3) 中 S 1 均值为 0.3916，标准差为 0.1617。这样，虽然 参数没有很好的稳定性，但每个状 态的无条件方差却非常稳定。 表 1 ARCH 模型和 MS-ARCH 模型的估计结果 参数 状 态 （1） ARCH(3) 0.0017 0.00069 0.211 0.211
( yt St ) 2 log p ( , , S | y ) c 0.5 log ht ht t q 1
T
0.5( S S ) 'V ( S S ) I (S ) (aij nij 1) log( ij )
研究中国股市的金融计量模型中，孙金丽和张世英（2003）、蒋祥林等(2004)、万军等 （2008）、江孝感和万蔚（2009）都用极大似然法估计了马尔可夫转换-GARCH 模型，他 们都说明了此前学术界所发现的 GARCH 模型持久性参数过大的问题， 其中前两者发现中国 股市的波动性状态转换同政策相关， 从而提出中国股市的波动主要由政策引起。 本文将运用 MCMC 方法估计上证综指的马尔可夫转换-ARCH 模型，并且得出更为丰富的结论。