【例6】 填空： （1） 函数 y 3x2 2 ，当 x =___________，函数 y 的值等于 0；
（2） 若函数 y
1
的自变量 x 的取值范围是一切实数，则 c 的取值范围是
x2 2x c
________．
【例7】 求下列函数的定义域： （1） y 1 x 3 ； | x | 4
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
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2.函数的定义域和函数值 （1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域． （2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
例题解析
【例1】 （1）在正方形的周长公式 l 4a 中，a 是自变量，_______是_________的函数， ______是常量；
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【例30】 m 取何值时，y 关于 x 的函数 y (m 3)x2m1 4x 是正比例函数．
【例31】 已知直角三角形 ABC 中，∠C=90°AC=6，AB=12，点 D、E、F 分别在边 BC、 AC、AB 上（点 E、F 与三角形 ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为 点 H，设 CE=x，BF=y，求 y 与 x 之间的函数关系式．
【例32】 已知一正比例函数 y mx 图像上的一点 P 的纵坐标是 3，作 PQ⊥y 轴，垂足为点 Q，三角形 OPQ 的面积是 12，求此正比例函数的解析式．
【例33】 如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线 OP 与线段 AB 相交于点 P， （1） 若直线 OP 将△ABO 的面积等分，求直线 OP 的解析式； （2）若点 P 是直线 OP 与线段 AB 的交点，是否存在点 P，使△AOP 与△BOP 中，一个面
） B．长方形的面积一定时，长与宽 D．三角形面积和高
【例15】 下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． y 3 (k 0) k
B． y (k 2)x(k 2)
C． y 1 (k 0) kx
D． y kx2 (k 0)
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【例16】 （1）已知函数 y (m 2)xm2 3 是正比例函数，则 m=_________； （2）当 a_________时，函数 y (a 1)x 是正比例函数．
【例26】 已知三角形 ABC 的底边 AB 的长为 3，AB 边上的高为 x，面积为 y， （1） 写出 y 和 x 之间的函数关系式； （2） 画出函数的图像．
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【例27】 （1）已知直线 y ax 是经过第二、四象限的直线，且 a 3 在实数范围内有意 义，求 a 的取值范围；
a2
f (a 1)（a 1）的值． 3
【例9】 A、B 两地路程为 160 千米，若汽车以 50 千米/小时的速度从 A 地驶向 B 地，写 出汽车距离 B 地的路程 S（千米）与行驶的时间 t（小时）之间的函数关系式．
【例10】 已知水池的容量为 100 m3 ，每小时灌水量为 Q m3 ，灌满水池所需时间 t 小时， 求 t 关于 Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为 5 m3 时，灌满水池需多少时间?
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模块二 正比例函数
知识精讲
1．正比例函数的概念 (1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这
两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量 x 、y 成正比例，就是 y k ，或表示为 y kx x
（ x 不等于 0）， k 是不等于零的常数. (2)解析式形如 y kx （ k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数 k 叫做
【例11】 如图，△ABC 与正方形 BDEF，其中∠C=90°，AC=BC=BD=8，且 BC 与 BD 均
在直线 L 上，将△ABC 沿直线以 2 个单位/秒向右平移，设移动的时间为 t，△ABC 与
正方形 BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为 s，求 s 与 t 的函数关系式，并写出定
义域?
知识精讲
1、 函数的概念 （1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； （2）在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y ，如果在变量 x 允许的取值范围内，
变量 y 随着 x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函数， x 叫做自变量.函数用记号 y f (x) 表示， f (a) 表示 x a 时的函数值；
2m 1 _________； （2）函数 y (1 k)x 的图像经过第一、三象限，那么 k 的取值范围_________． 【例20】 （1）已知 y 与 x 之间的函数关系式是 y 2x 1，那么 y 与 x___________（填“是” 或“不是”）正比例关系； （2）已知 3y x 9 ，y 与_____________成正比例关系，k=___________． 【例21】 （1）已知 2y 3 与 4x 5 成正比例，且当 x 1时，y 15 ，求 y 与 x 的函数关系式；
点（不与端点重合），且 DE⊥BC，设 BD = x，将△BDE 沿 DE 进行折叠后与梯形 ACDE
重叠部分的面积是 y：
A
（1） 求 y 和 x 的函数关系式，并写出定义域；
E
（2） 当 x 为何值时，重叠部分的面积是△ABC 面积的 1 ．
4
CD
B
A
C
B
备用图
A
C
B
备用图
A
C
B
备用图
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【例17】 （1）已知函数 y 与 x 成正比例关系，且当 x 1 时，y 2 ，当 x 3 时，y 2
_________； （2）已知 y 1与3x 成正比例，且当 x 1时，y 4 ，则 y 与 x 之间的函数关系式是 __________． 【例18】 （1）若点 B（b，-9）在函数 y 3x 的图像上，则 b= _________； （2）若将点 P（5，3）向下平移 1 个单位后，落在直线 y kx(k 0) 的图像上， 则 k=_________． 【例19】 （1）如果正比例函数 y x 的图像经过第二、四象限，那么 m 的取值范围是
比例系数.正比例函数 y kx 的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例 函数的解析式 2.正比例函数的图象
(1)一般地，正比例函数 y kx ( k 是常数, k 0 )的图象是经过 (0，0) ，(1，k) 这两点的 一条直线，我们把正比例函数 y kx 的图象叫做直线 y kx ；
（2） y 2x2 ； x
（3） y 5x ； x 1
（4） y x 2 (x 5)0 ． x 1
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【例8】 将 x 2 y 1 写成 y f (x) 的形式，并求 f (0) ，f (3) ，f (1)(a 3，a 0) ，
3y 2
（2）已知函数 y (2m 1)x 的值随 x 的增大而减小，且函数 y (1 3m)x 的值随着 x 的 增大而增大，求 m 的取值范围．
【例28】 正比例函数的解析式为 y (k 2 1)x ， （1） 当 1 k 1 时，y 的值随 x 值的增大是增大还是减小？ （2） 若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？
（2）面积是 S(cm2 ) 的正方形地砖边长为 a（cm），S 与 a 之间的函数关系式是_________， 其
中自变量是____________． （3）圆的周长 C 与半径 r 之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变 量是____________．
【例2】 在匀速运动中，若用 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子 s vt ，下列
【例29】 已知正比例函数的自变量增加 4 时，对应的函数值增加 6， （1） 求这个函数解析式； （2） 当 x 6 时，求 y 的值； （3） 当 y 4 时，求 x 的值； （4） 当 2 x 4 时，求 y 的取值范围； （5） 当 6 y 6 时，求 x 的取值范围．
A
F
E
C
D
B
【例12】 已知等腰三角形周长为 24cm， （1） 若腰长为 x，底边长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域； （2） 若底边长为 x，腰长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域．
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【例13】 如图，在△ABC 中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D、E 分别是边 BC、BA 上的动
（2）已知 y (k 2)x k 2 k 6 为正比例函数，求 k 的值及函数解析式．
【例22】 若 y1 (2 3t)x43t 是正比例函数，又 y2 7x 12 ，当 x 取何值时 y1 y2 ．
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【例23】 已知 y 是 x 的正比例函数，且当 x 3 时， y 1 ： （1） 求出这个函数的解析式； （2） 在直角坐标平面内，画出这个函数的图像； （3） 如果点 P（a，4）在这个函数图像上，求 a 的值； （4） 试问：点 A(6，2) 关于原点对称的点 B 是否在这个图像上?
说法中正确的是
（
）
A．s、v、t 三个量都是变量
B．s 与 v 是变量，t 是常量
C．v 与 t 是变量，s 是常量
D．s 与 t 是变量，v 是常量
【例3】 下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断 y 是否是 x 的函数？为什么？