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工程数学教案12行列式的性质与计算

教案头
教学详案
一、回顾导入(20分钟)
——复习行列式的概念,按照定义计算一个四阶行列式,一般需要计算四个三阶行列式,如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦,为简化行列式的计算,我们需要研究行列式的主要性质。

二、主要教学过程(60分钟,其中学生练习20分钟)
一、行列式的性质
定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式,记为T
D 。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号。

推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式。

推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。

性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和。

性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。

二、行列式按行(列)展开
定义 在n 阶行列式中,把元素
ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij A 。

记ij j i ij M A +-=)1(,叫做元素ij a 的代数余子式。

引理 一个n 阶行列式,如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零,那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积,即
ij ij A a D =。

定理 行
列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。

推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
j
i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。

行列式的代数余子式的重要性质:
⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,
,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ
范德蒙德(Vandermonde )行列式
二、克莱姆法则
定理 如果线性方程组(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数行列式不等于零,即
那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解可以表示为
D D x D D x D D x n n ===,,,2211 。

其中j D 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式,即
定理 如果线性方程组(1)的系数行列式0≠D ,则(1)一定有解,且解是唯一的。

定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零。

定理 如果齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (2)
的系数行列式0≠D ,则齐次线性方程组(2)没有非零解。

定理 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则齐次线性方程组(2)的系数行列式必为零。

三、归纳总结(10分钟)
应用行列式的性质计算行列式特别是高阶行列式,可以简化计算;用克莱姆法则解线性方程组的基本步骤。

四、课后作业
练习:1.如果行列式有两行的对应元素成比例,则此行列式的值为 ;
2.如果行列式有两行的对应元素相同,则此行列式的值为( )
.0212222111211≠=nn
n n n n a a a a a a a a a D .1,1,111,111,111nn
j n n j n n n
j j j a a b a a a a b a a D +-+-=⎩⎨⎧≠==.,0,1j i j i ij 当,当其中δ∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n n
n n n n n x x x x x x x x x x x D
3.=c c b b a a 212121 ;=+++b a c a c b c
b a 111 ;。

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