n
nDT
n a~kl A~kl n
n a~kl (1)kl M~ kl
l 1 k1
l 1 k1
nn
nn
al k
( 1)k l
M
T lk
al k (1)kl Ml k
l 1 k1
l 1 k1
nn
alk Alk nD ,
l 1 k1
由归纳假设
DT D . 即性质对于 n 阶行列式也成立。
6
§1.2 行列式的性质与计算
第 三、行列式的三个基本操作及其性质
一 章
1. 三个基本操作
2. 相应的三个性质
行 列
性质1
将行列式的某一行(列)中所有的元素 k 倍，则行列式
式 P8 性质2 的值 k 倍，即
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain .
式 175 715
6 6 2 6 6 2 .
3 58 538
9
§1.2 行列式的性质与计算
第 性质2 交换行列式中的两行(列)， 行列式的值反号.
一 章
证明 (利用数学归纳法证明) 对于 2 阶行列式, 结论显然成立；
假设对于 n 1 阶行列式结论成立，下证对于 n 阶行列式
行
列
结论也成立。(注意此时 n 3)
§1.2 行列式的性质与计算
第
一
a11 a1n
章
行
ai1 ain
第i行
列 式
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
相同 第 j行
an1 ann
当 i j 时, ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
r3 r1
0 66
66
20
§1.2 行列式的性质与计算
第
3
一 章
例
5 D
2
1 1 2 1 3 4 c1 c2 0 1 1
1 3 1 2 1 5 3 4 0 2 1 1
行
1 5 3 3
5 1 3 3
列
1 3 1 2
1 3 1 2
式
r2 r1 0 8 4 6 r2 r3 0 2 1 1
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
12
§1.2 行列式的性质与计算
第 性质3 将行列式的某一列(行)的各元素 k 倍加到另一列(行)
一 P11 性质5 对应的元素上，行列式的值不变，即 章
a11 a1i a1 j a1n
行 列 式
a21 a2i a2 j a2n
11
§1.2 行列式的性质与计算
第 推论2 若行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则行列式
一 P10 推论3 的值为零.
章
证明
a11 a12 a1n
行 列
式
ai1 ai2 ain
a11 a12 a1n ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
r4 5r1 0 2 1 1
0 8 4 6
0 16 2 7
0 16 2 7
1 3 1 2
1 3 1 2
r3 4r2 0 2 r4 8)r3 0 2
8 10
00
1 1 8 10 40.
0 0 10 15
0 0 0 5/2
注 本例的方法适合于计算机编程实现。 21
式
设 Dˆ 是行列式 D 交换第 i , j 两行后得到的行列式，
由于 n 3, 因此除第 i , j 两行外还有一个第 k 行。
令 Aˆ kl 和 Akl 分别是行列式 Dˆ 和 D 的第 k 行的代数 余子式，由归纳假设有 Aˆ kl Akl , 于是有
n
n
Dˆ akl Aˆ kl akl Akl D.
k
an1 ani an j ann
a11 c j kci a21
an1
a1i a2i ani
(a1 j ka1i ) (a2 j ka2i )
(an j kani )
a1n a2n . ann
证明 只需将上式右端行列式的第 j 列拆开即可证明.
13
§1.2 行列式的性质与计算
P 8 推论
3
§1.2 行列式的性质与计算
第 证明 (利用数学归纳法证明) 对 1 阶行列式，性质显然成立；
一 章
假设对于 n 1 阶行列式成立，则对于 n 阶行列式有
n
nn
行
D ai j Ai j , ( j 1 ~ n) , nD
ai j Ai j ,
列
i 1
j1 i1
式
同理
行
列
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j.
式 证明 将行列式按第 j 行展开，有
a11
ai1 a j1 Aj1 a jn Ajn
a j1
ai1 ain
an1
a1n ain , a jn
ann
把 a jk 换成 aik (k 1, , n) , 可得 15
行 P 13 例 7
列 式
b b b a
解 将第 2 至 n 列都加到第 1 列得
a (n 1) b b b b
a (n 1) b a b b
D a (n 1) b b a b
a (n 1) b b b a
23
§1.2 行列式的性质与计算
第
1 b b b
一 章
1 a b b
补
行
为了方便讨论，通常用 ri 表示第 i 行，ci 表示第 i 列.
列 (1) 将第 i 行(或列)中所有的元素 k 倍， 式
记作 k ri (或 k ci ).
(2) 交换第 i, j 两行(或列)的所有元素，
记作 ri rj (或 ci c j ).
(3) 将第 i 行(或列)的各元素的 k 倍加到第 j 行(或列) 对应的元素上，记作 rj k ri (或 c j k ci ).
将第一行
行
D (a (n 1)b) 1 b a b
减到其它行
列
式
1 b b a
1b b b
(a (n 1)b)
ab
0 a b
0
ab
(a (n 1)b)(a b)n1.
24
§1.2 行列式的性质与计算
第 一 章 例 计算
P 12 例 5
行
列 式
ab
c
d ab c
d
解
逐行相减
第 四、关于代数余子式的重要性质
一 章
引例
a11 a12 a13 已知 a11 A11 a21 A21 a31 A31 a21 a22 a23 ,
行
a31 a32 a33
列 式
4 a12 a13 问 (1) 4A11 5A21 3A31 ?5 a22 a23 ;
3 a32 a33
b1 a12 a13 (2) b1 A11 b2 A21 b3 A31 ?b2 a22 a23 ;
16
§1.2 行列式的性质与计算
第 四、关于代数余子式的重要性质
一
章 行
综合
n
aki Ak j
k 1
D i j
D ,
0
,
i j, i j;
列
式
n
ai k Ajk
k 1
D i j
D , 0 ,
i j, i j;
其中
ij
10
, ,
i j， i j.
17
§1.2 行列式的性质与计算
第
1234
an1 an2 ann
an1 an2 ann
证明 只需将上式两边的行列式按第 i 行展开即可证明.
7
§1.2 行列式的性质与计算
第
0
一 章
例
形如 a12
a12 a1n 0 a2n 的行列式称为反对称行列式。
行 列
a1n a2n 0
式
试证：奇数阶反对称行列式等于 0。
0 证 D DT a12
一 章
例
设 D 5 2
6 3
7 4
8 5 , 求 3A12 7 A22 4A32 8A42 .
行
6789
列
式
1334
解
5 3A12 7 A22 4A32 8A42 2
7 4
7 4
8 0.
5
6889
18
§1.2 行列式的性质与计算
第 五、行列式的计算
一 章 基本思路 利用行列式的性质把行列式化为上三角形行列式。
定义
设行列式 D a21
a22
a2n , 其转置行列式为
P6
an1 an2 ann
a11 a21
DT
a12
a22
an1 不妨 an2 记为
a1n a2n ann
特点
a~i j a ji ,
M~ i j
M
T ji
.
2
§1.2 行列式的性质与计算
第 一、行列式的转置
一 章
1. 转置行列式的概念与特点
a2n
,
an1 an2 (ani bni ) ann
a11
a21
an1
a1i a1n a11
a2i
a2n
a21
ani ann an1