第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n Tnn nna a a a a a D a a a =L L L L L L L称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212nnT n n nnb b b b b b D b b b =LL L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L1212()12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑LL 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即111211112112121212n n i i in i i in n n nn n n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++=LL L L LL L L L LL111211212n i i in n n nn a a a a a a a a a +LL L L L L L L L L L111211212n i i in n n nna a ab b b a a a L L L L L L L L L L L. 证: 由行列式定义1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑LL L12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即111211212i jn r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L11121112212n i j i j in jn n n nna a a a ka a ka a ka a a a +++LLL L LL L L L L L计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式2324311112321311(1)(2)3234113104251113D --=-解: 211231231232123223240188(1)32340862425425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式12111111(1)(2)111(0,1,2,,)n n ni a x a a a ax a D D a a a xa i n ++==+≠=LL L L L L L L L L L L LL L 解: (1)1112132,3,1111100000i r r ni nna a a D a a a a -=+---=L L L LM M M M ML 22111111100100010nna a a a a -=+-L L L L LL L L L L L L LL(箭形行列式)11223122,3,,11110000iinc c i ia n i nna a a a a a a +==++∑=L LL L L L L L L2312122111(1)(1)nnn n n i i i ia a a a a a a a a a a ===++=+∑∑L L L(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,(1)(1)(1)i c c ni nx n aa a x n a xa D x n aax+=+-+-+-=L L L L L L L L11[(1)]1a a x a x n a ax=+-L L L L L L L12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=L L L L L L L L1[(1)]()n x n a x a -=+--.例3: 设1111111111110,k k kk k n n nkn nn a a a a D c c b b c c b b =L M M L L L M M M M LL11111,kk kka a D a a =L M M L11121,n n nnb b D b b =L M M L证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式:1111110;kk k kk p D p p p p ==M OL L对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:1121110.nn n nk q D q q q p ==M OL L先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式:11111111110,k kk k n nkn nn p p p D c c q c c q q =M O L L M M M O LL故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=L L . 思考练习 1.计算行列式111222122512123714(1)(2)(2)5927124612n n n n a a a n a a a nD D n a a a n+++-+++--==≥-+++-L L M M M M L2.证明1111111112222222222a b b cc a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)4(2)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a ab ac aeb b b b bdcd de abcdef c c c c bfcfefd d d d +++-+++-==+++-+++4.计算行列式2324323631063ab cda a ba b c a b c d D a a b a b ca b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案134152217341.(1)29571642c c D ↔------=3243422152215220113011311(3)390030003000333r r r r r r -++--⨯⨯-⨯---====112122,3,,111111,2(2)0,2111i c c ni nn a n a n a a n D n a n -=+-+--=⎧==⎨>⎩+-L L LM M M M L 2.左边=21111111111111222222222222c c a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+ 32111111111122222222222222c c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c ++-+-=+-=+-+-+- 21312341,2152215220216011301130216012012r r r r r r r r +----------==2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b c c c c d d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b c cd d --++==++=右边4. 解: 从第4行开始，后行减前行得，002320363a bcda ab a bc D a a b a b ca ab a bc +++=++++++4332r r r r -=-0002003a b c d a a b a b c a a b a a b +++++43r r -=0002000a b c da ab a b ca ab a++++ 4a =§2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：111213212223313233a a a a a a a a a 222321232123111213323331333133a a a a a a a a a a a a a a a =-+可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如 三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132a a M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式11102511230301x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--=二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即11221122(1,2,,)(1,2,,)i i i i in inj j j j nj nj D a A a A a A i n D a A a A a A j n =++==++=L L L L 或证 （1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200nn n nna a a a D a a a =L LL L L L L1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑L LL L2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑LL L 1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）1111100j n ij n nj nna a a a D a a a =L L M M M M ML LM M M M M L L 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行;将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000n i i in n n nn a a a D a a a a a a =+++++++++LL LL LL L L L L L L L L11121111211112112121212000000n n n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++L L L L L L L L L L L L L L L L LL LL L L L L L L L L L L L L L L1122i i i i in in a A a A a A =++L1122j j j j nj nj D a A a A a A =++L 同理有.推论 n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即112211220()0()i s i s in sn j t j t nj nt a A a A a A i s a A a A a A j t ++=≠++=≠L L 或证 考虑辅助行列式1111121222112j j n j j nn nj nj na a a a a a a a D a a a a i j =L L L L L L M M M M M M M L L L 列列1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠L 按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=L （.关于代数余子式的重要性质1,,0,;n ki kj ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑ 1,,0,;nik jk ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑1,0,.ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩，其中 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式4142434430402222,..075322ij ij D M M M M M a =+++--求的值其中为的余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.414243441424344441424344111(1)1M M M M A A A A A A A A +++=-+++=-⋅+⋅+-⋅+⋅3040222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-.例6: 计算n 阶行列式00001000000020(1)(2)0000001000000n n x y x y D D x y n y x n ==-L L L LM M M M M M M M M MM L L L L解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++L 按第列展1110000000000000(1)(1)0000000000000n xy y x y x y x y x y y xx y++=-+-L L L L M M M M M M M M M M M M L L LL1(1)n n n x y +=+-.11111212111(2)nn n D a A a A a A =++L 按第列展1110000200(1)(1)!00200001n n n n n n ++=-=---LLM M MMM L L.例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a bD a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得 22[()()]a b a bD a b a b a b a b +-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)nn i j j i nn n n nx x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏L L L L L L L ,其中1()i j j i nx x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.21311222221331111121222133111111000n n n n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------L L L M M M M M L2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------L L L M M M M M L 112()ni i x x ==-∏按第列展提取公因子2322223111nn n n nx x x x x x ---L L L L L L L 1()i j j i nx x ≤<≤=-∏.例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式1111437516949256427343125D -=-解 ：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====-所以有14()i j j i D x x ≤<≤=-∏213141324243()()()()()()x x x x x x x x x x x x =---⋅--⋅-(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368=----⋅---⋅--=.第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式1424344411713180,..21435125ij ij D A A A A A a -=+++-求的值其中为的代数余子式 解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略） (方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算. 14243444142434441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅ 它是D 中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有 142434440.A A A A +++=。