现代控制理论试题
现代控制理论试题
一、名词解释（15分） 1、4、能近稳定性、能观性3
、系统的最小实现
二、 简答题（15分）
1、 连续时间线性时不变系统（线性定常连续 系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？
2、 如何 断线性 ......... 的充传要条数什么？ 4、 囚于线:性定常系统能够任意配置极点的充 要条件是什么？ 5、 线性定常连续系统状态观测器的存在条件 是什么？
三、 计算题（70分）
“+、J 、RC 无源网络如图1所示犬试列写出其 状态万程和输出万程。
其中 选G 两端的电压为状态变量"宀两 态变量"电压叭为为系统的输出y 常系 统的 如何判 G
国的最小实现A 、B 、C 和D 台匕
「两系统的压入犬 ■0
图1: RC 无源网
络
2、计算下列状态空间描述的传递函数 g
（s ）
3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间 离散化状态方程:
其中，采样周期为T=2.
4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状 态变量解认)和社©
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合 完全能控和完全能观测得待定参数 a 的取值 范围：
6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原 点平衡状态即是否为大范围渐近稳定：
直=衍
=-JT1 - X t 1X 1
7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不 变系统的传递函数为
1
恥国=s(s + 4)(^ + 0)
试确定一个状态反馈矩阵 K ，使闭环极点配 置为竝二-2用=・4和找二・7
r = -1 0 1 —2 a r
卄 0
0 0 -3
1
ity = [0 0 l]x
U
现代控制理论试题答案
一、概念题
1、何为系统的能控性和能观性？卄一亠八訪 答：(1)对于线性定常连续系统，若存在一分段 连续控制向量u(t)，能在有限时间区间［t o ,t l ］内将 系统从初始状态x(t o )转移到任意终端状态x(t i )， 那么就称此状态是能控的
(2)对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t) 下，能够根据输出量必)在有限时间区间［t o ,t i ］内 的测量值，唯一地确定系统在t o 时刻的初始状态 x(t o )，就称系统在t o 时刻是能观测的。
若在任意 初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能 观测的，简称能观测的。
2、何为、系统的最小实现？ 、 、+、
答：由传递函数矩阵或相目应的脉冲响应来建立系 统的状态空间表达式的工作，称为实现冋题。
在 所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实 现。
,
使得I 坯7』11£甌切八乏®时,有 近稳定-心’则称冷为李雅普若夫意义下的渐 二、简答题
1、连续时间线性时不变系统(线性定常连续 系统)做线性变换时不改变系统的那些性质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、
3、 何为系统的渐近为李雅普若夫意义下的稳定， 答：若在时亥I
且存在不依赖于咕的实数賢山"和任意给定的初 始状态…，使得I 计
能观性，系统特征值不变、传递函数不变 答：方法1:对n 维线性定常连续系统，则系统 的状态完全能控性的充分必要条件为：
廟=ranA^ AU —山冃珂=H o
方法2:如果线性定常系统的系统矩阵 A 具 有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件 是，系统经线性非奇异变换后 A 阵变换成对角 标准形，且直不包含元素全为0的行
线性定常连续系统状态完全能观测的充分必 要条件是能观性矩阵％满秩。
即： rankW o = ramie [c r "E 尸C 7] = n.
3、 传递函数矩阵晒的最小实现A 、B 、C 和D 的充要条件是什么？
答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观 测。
4、 肉于线性定常系统能够任意配置极点的充 要条件是什么？
答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件 是系统完全能控。
5、 线性定常连续系统状态观测器的存在条件 是什么？
答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是 原系统完全能观。
二、计算题
1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方 程和输出万程。
其中，人为系统的输入，选航两端 的电压为状态变量.匚两端的电压为状态变量 匚 电压「•为为系统的输出y 。
J?】
R 2 i
|
*
h
h 如・
G
G _____
%
如何判 断如性定常线性定常系统的能控性?
解: 由电路图可知：
U r = ^4+Hn
^cl =屍4 +
4=G警
=U ct] © =険]y =叽可彳得：
盅二(盍+盍)血十蠢禺+九齐
所以可以得到:
Y=n[> iu
2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s)
解：运用公式可得:
娜F 二谢号洽上胃1
二;
可得传递函数为:
c + adj(d. —
A)b
det(sl — A) 12s + 59 - 44 j= + 6s+ 3
3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间 离散化状态方程： *=c 刖册
其中，采样周期为T=2。
解：先求出系统的.
严=上7{曲一却7} = © J]
v=n z 吟如
det(sl-A) = detpjg 5
s a +6s + ：6
g(s)= C(sl-A)-1S + D =
令汀幻-网迄代，用「寓辱“ 可得:
X(k+ 1) = GXQ0 + HuC10=[J
：]X(k)+ 呦吩)
4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状 态变量解讹©和皿)
関出3帥糾幣I 胡皿十…
解：计算算式为：熾:磁:，:腭严“沁険虽
…、 r 2a
-
* — a _3t g _t ® _at 1 rni 『p -t — p _at
e
^®=l-2e-r + 2(?-I£ -5^4 2e-at Hll = l-ff-c 4-2e"3C
[-2e-f + 4ts _c +
I Ac "t 一 if o 一 JL M —St
=|^1
[氐Y-L l-2e-f +
2e"af
严 一 g-3t
2e _3C
一厂A 町十起半
所以：
x
®=s ⑹+『心阳丽鬲=
[£：m ：」
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合 完全能控和完全能观测得待定参数 a 的取值
范围:
解：由于A 无特定形式，用秩判据简单。
[0 抚 1 一 4a det[Bj ABj
= dei 0 1 — 5 = —— 1
1 -3 9
■ C
□ 0 1 CA C41 =
det
0 0-3 0 0 9
因此，不管a 去何值都不能够联合完全能控 和完全能观测
6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原 点平衡状态即「是否为大范围渐近稳定：
V(x)，
岭＜)7汕g 笃可知:
-1 1 x= 0 -2
0 D
0 ity = [0 Q 1
即怜］-乔性-;为正定。
（2）计算一并判断其定号性。
对取定
龄7 - ；冷2 - S 2和系统状态方程，计算得到: 喰=警学十警学一心
基此可知:
咆
滩）={=叫聲盂囂寓血=01
=0,
即:呵为负半定。
（3）判断代0（%0）"0。
对此，只需判断畑）=0的2【:」和丈-［制不为系统状态方程的解。
为此，将口。
讦带入状态方程，导出：
0 = X2=-X1~X12X2=^
表明，状态方程的解只为x = ［d 0卩，工=［0不是系统状态方程的解。
通过类似分析也可以得证"凶吓不是系统状态方程的解。
基此，可知判断恤
U5）却。
（4）综合可知，对于给定非线性时不变系统，可构造李雅普若夫函数判断呦=疔+切满足：
V（x）为正定，•为负定；对任意.，他s勅曲当|厠］三評+— oa，有V&0 =1/ + ^23- DO
基此，并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态；为大范围渐近稳定。
7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的
传递函数为
恥® ~ + 4）（^ + 9}
试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为
挂=-2,珀=-4和找=-7。
解：可知，系统完全可控，可以用状态反馈进行
任意极点配置。
由于状态维数为3维。
所以设Q「叹•- - . O
系统期望的特征多项式为：
肛ay=a - -珀）a -药）=汹+帕捽+5山十弘
而
I A -1 0
HI-A + 3K|= 0 A -1
-F 32 +Ac a + 12
令律-A + BK|= a砂,二者相应系数相等。
彳得：叫—56?kj= 18, 即：—I;产z ；丨验证：
g⑸=C（sl=外血:眼+ 56。