现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。

2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。

状态变量个数是2。

…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。

（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。

若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。

（8分） 解112(1)(1)11()()()(1)(2)(1)(2)4s s s s g s g s g s s s s s s -+++==⋅=++--- …..….…….（5分） 最小实现为[]010,10401x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…..….…….（3分）四、将下列状态方程u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 化为能控标准形。

(8分) 解 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==7111Ab b U C ……..…………….…….（1分） ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-818181871C U ……..…………..…….…….（1分） 11188P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4341818121P P P 1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 ……….…...…….…….（1分）五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统1211x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦的稳定性。

（8分） 解2122311I A λλλλλ+-⎡⎤⋅-==++⎢⎥+⎣⎦…………...……....…….…….（3分）特征根1λ=-±…………...…...…….…….（3分）均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定…...…….…….（2分）六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统1123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x x 是否为大范围渐近稳定： （8分） 解11121222p p P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T A P PA I +=-…………...……....…….…….（1分）11121112221222241420261p p p p p p p -+=-⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩………...…………....…….…….（1分） 1112122275485388p p P pp ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦...…………....…….…….（1分）111211122275717480 det det05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）七、已知系统传递函数阵为 2211(1)(2)()213(1)(2)1s s s s G s s s s s s +⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦试判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。

（6分） 解： 10d = 20d = ---------- （2分）[]110E =， []101E = ---------- （2分）1001E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦非奇异，可实现解耦控制。

------ （2分）11121222p p P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦八、给定系统的状态空间表达式为[]12310110,0101011x x u y x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，设计一个具有特征值为-1，-1，-1的全维状态观测器。

（8分） 解：方法11231231111E I A EC E E λλλλ++⋅-+=++--+ ------ 1分2322213332223321(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++-- 2分又因为 *32()331f λλλλ=+++ ------- 1分 列方程32123264126333E E E E E E +++=++=+= ----- 2分 1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分观测器为10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦------- 1分 方法2321231136611I A λλλλλλλ+⋅-=+-=+++-+------------------- 1分*32()331f λλλλ=+++-------------------2分1235,3,0E E E =-=-=-------------------1分21211()10100TT TT T a a Q CA C A C a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦------------------2分1232,0,3E k E =-==- 1分观测器为10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦------ 1分 九 解 12100010012A O A O A ⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭， 12101,12A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭………………..（1分）1200A tAtA te e e ⎛⎫=⎪⎝⎭1A t te e =…………………………..……….（1分）11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎪---⎝⎭………..……….（1分） (){}2112220t A tt t t e eLsI A e ee --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭……….…（1分）()112200000tAt tt tt e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎪-⎝⎭……….……….（2分）222001000001tt t t tt t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………..……….（2分）《现代控制理论》复习题1一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。

()(0)At x t e x =（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。

（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（ √ ）4. 对系统Ax x= ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

（ √ ）5. 根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。

二、（15分）考虑由下式确定的系统： 233)(2+++=s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。

解： 能控标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212113103210x x y u x x x x能观测标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110133120x x y u x x x x对角标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212112112001x x y u x x x x三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。

对系统x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210求其状态转移矩阵。

解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵A 可以对角化。

矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21,1121νν取变换矩阵 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-1112121ννT ， 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21111T 因此， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-20011TAT D 从而，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-------------t t tt tt ttt t t tAte e e e ee e e e e T e e T e222222122221112002111解法2。