概念：设动态系统为)()()(,)()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x+=+=&，（1）若At e t =Φ)(，则)(t Φ称为（状态转移矩阵 ）（2）若D B A sI C s G +-=-1)()(，则)(s G 称为（ 传递函数矩阵 ）（3）若],,,,[],[12B A B A AB B B A n c -=ΓΛ，则],[B A c Γ称为（能控性矩阵） （4）若Tn o CA CA CA C A C ],,,,[],[12-=ΓΛ，则],[A C o Γ称为（能观性矩阵） （5）若],,,,,[],,[12D B CA B CA CAB CB B A C n oc -=ΓΛ，则],,[B A C oc Γ称为（输出能控性矩阵）（6）李雅普诺夫方程Q PA P A T -=+，其中Q 为正定对称阵，当使方程成立的P为（ 正定对称阵 ）时，系统为渐近稳定。

（7）设系统0)0(,0,)(=≥=f t x f x &，如果存在一个具有一阶导数的标量函数)(x V ，0)0(=V ，并且对于状态空间X 中的且非零点x 满足如下条件：)(x V 为（正定）；)(x V&为（负定）；当∞→x 时，∞→)(x V 。

则系统的原点平衡状态是（大范围渐近稳定的）。

（8）状态反馈不改变系统的（可控性）。

输出至状态微分反馈不改变系统的（可观测性）。

输出至参考输入反馈，不改变系统的（可控性和可观测性）。

状态反馈和输出反馈都能影响系统的（稳定性和动态性能）。

（9）状态反馈控制的极点任意配置条件是系统状态（完全可控）。

状态观测的极点任意配置条件是系统状态（完全可观）。

（10）系统线性变换Px x =时，变换矩阵P 必须是（非奇异的，或满秩）的。

二：已知系统传递函数 )2()1(5)(2++=s s s G ，试求约当型动态方程。

解：2515)1(5)2()1(5)(22+++-+=++=s s s s s s G由上式，可得约当型动态方程[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321555110200010011x x x y u x x x x x x &&&三：试求下列状态方程的解 x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=300020001&的解 解：由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==-=---011010)()()()(xA sI L t x x A sI x xx A sI Ax x& 0320111000000310002100011300020001)(x e e e x s s s L x s s s L t x t t t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=------五：设系统状态方程为0111x x u a b ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&，并设系统状态可控，试求,a b 。

解：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==11ab b b AB B P c M令bb a b ab Pc 1012+≠⇒≠--=时，即可满足可控性条件。

六：试确定使系统[]1,110a x x y x b ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦&可观测的.,b a 。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a CA C P c 111 101+≠⇒≠+-=a b a b P c 时，于是系统可观。

第A9-3题：系统微分方程为 u x x x =++23&&&， 其中u 为输入量；x 为输出量。

⑴设状态x x x x &==21,，试写出系统的动态方程；⑵设状态变换2122112,x x x x x x --=+=，试确定变换矩阵T ，及变换后的动态方程。

参考答案：⑴列写系统的动态方程[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212101103210x x y u x x x x && ⑵求变换矩阵T 和变换后的动态方程由题意知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212111x x x x , 故变换矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11121T , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-20011AT T A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-111B T B , []11==CT C变换后的动态方程u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1120012121&&, []⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=2111x x y第A9-5题：已知系统结构图，其状态变量为x 1，x 2，x 3。

试列写动态方程。

参考答案：⑴将频域参量s 视作微分算子，可得21)3()(2x s x u +=- ，132)3()(2x s s x x +=-13sx x =，1x y =⑵整理得动态方程31x x =&u x x x 232212+--=&32332x x x -=&1x y =⑶写成向量矩阵形式u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020320032100321321&&&, []⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=321001x x x y第A9-6题：已知系统传递函数为3486)(22++++=s s s s s G试求可控标准型（A 为友矩阵），可观标准型（A 为友矩阵转置），对角型（A 为对角阵）动态方程。

参考答案：由于 345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s G串联分解，引入中间变量z ，可得微分方程u z z z =++34&&&u z z y ++=52&选取状态变量 z x =1， z x &=2则状态方程 21x x =& ，u x x x +--=21243&则输出方程u x x y ++=2125可控标准型动态方程u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1043102121&&[]u x x y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=2125利用能控性与能观性的对偶关系T c o A A =， T c o C B =， T c o B C =， c o D D =由可控标准型得可观标准型动态方程u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2541302121&&[]u x x y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=2110由于 34521)()(1)(2++++=+=s s s s D s N s G 0)3)(1(34)(2=++=++=s s s s s D故λ1=-1，λ2=-3为系统的单实极点，且有32/112/33452)()(2+++=+++=s s s s s s D s N 因此，)(32/112/31)(s U s s s Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= 令状态变量 )(11)(1s U s s X +=， )(31)(2s U s s X += 其反拉氏变换 u x x +-=11&， u x x +-=223&， u x x y ++=212123 因此对角型动态方程u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1130012121&&u x x y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212123第A9-13题：已知线性系统的状态转移矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t t t t t t t e e e e e e e e t 22222,2,2)(试求系统的状态矩阵A 。

参考答案1：由状态转移矩阵性质⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-+=Φ=--3213)2)(1(12112,21122112,2112)]([)(1s s s s s s s s s s s t A sI λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++-=-3210321003213)2)(1(1s s s s s s s sI A 参考答案2：由状态转移矩阵性质I t A t =ΦΦ=Φ)0(,)()(&所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-=Φ==--------=32104,222,22)(022220t t t t t t t t t t e e e e e e e e t A & 第A9-14题：设系统(A,B,C)的状态矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A试求系统的状态转移矩阵Ate ： 参考答案1：拉氏变换法⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-------+--+-----+-------+--+-----+-------+--+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---)2(4)1(4)1(1)2(8)1(8)1(3)2(4)1(4)1(2)2(2)1(2)1(1)2(4)1(5)1(3)2(2)1(2)1(2)2(1)1(1)1(1)2(2)1(2)1(3)2(1)1(2252421454)2()1(14521001)(222222222222211s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---++--+---++--+---++-=-=-t t t tt t t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t Ate e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e te A sI e 222222222143883442224532222232)(λ 参考答案2：线性变换法由于A 是友矩阵，故有)2()1(254)(223--=-+-=λλλλλλf11=λ，12=λ，23=λ所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=41121110111012312131λλλλλP ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1211321201P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==Λ-2000100111AP P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λt t t t t e e te e e 200000 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--+++-++--+++-++--++-==Λ-t t tt t t t t t t tt t t t t tt t Ate e t e e t e e t e e t e e t e e t e e t e e t e te P e P e 22222222214)3(8)83(4)2(22)2(4)53(2)1(2)1(2)23(2参考答案3：待定系数法根据凯莱-哈密顿定律22101)()()()(A t a A t a I t a A t a e n k k k At++==∑-=因A 的特征值λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2, 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--++-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t t t t t e e t e e t e te e te e t a t a t a 222212331211210)1(2)23(2λλ1λ10λλ1)()()( ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--+++-++--+++-++--++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=t t tt t t t t t t t t t t t t tt t t tt t t At e e t e e t e e t e e t e e t e e t e e t e e t e te e e t e e t e te e 2222222222224)3(8)83(4)2(22)2(4)53(2)1(2)1(2)23(211188452100)1(4521000102)23(1000100012第A9-15题：已知线性定常自治系统的状态方程X X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010&, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211)0(X 试求系统的状态轨线。