16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
7
复变函数
更多的例子
w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = Ln(az + b) w = sin z w = Arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2 2) w = ∫exp(-z2)dz
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
11
复变函数
结构
相同点：
复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
不同点：
基本实变函数 ▪ xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)
基本复变函数 ▪ zn, z1/n,exp(z),ln(z)
原因 ▪ cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
乘除法 r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
复共轭 z = x + iy → z* = x – iy z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)
10 -10
u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y3xy2 -iy3
u = x3 – 3xy2 ,
v = 3x2y - y3
性质
对称性 无周期性
2000 1000
0 -1000 -2000
-10
10 5 0
无界性
-5
0
-5
单值性
5 10 -10
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
4
复数
几何表示
关系
x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
特点
无序性
复数无大小
矢量性
复数有方向
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
5
复数
运算
加减法 (x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
12
复变函数
100
基本函数
二次函数
定义
w = z2
分析
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2
u = x2 -y2 ,
16.04.2021
周期性
4
▪ exp(z+2 i)= exp(z) 无界性 单值性
2 0 -2 -4
-2
5 2.5 0
-1 0
-2.5
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
1
-5 2
15
复变= Ln(z)
分析
u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ
14
复变函数
5
指数函数
定义
w = exp(z)
分析
2.5 0
-2.5 -5
-2 -1 0
5 2.5 0 -2.5
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny]
1
-5
2
u = exp(x) cos y ,
v = exp(x) sin y
性质
不对称性
映射
相同点
在形式上：y = f(x), w = f(z)
不同点
在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上：
▪ 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； ▪ 复变函数不能用一个图形完全表示。
联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
数学物理方法
复变函数论
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
1
复变函数论
复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
2
复数
数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备 2 →实数 方程可解性→复数
v = 2xy
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
200 100
0 -100 -200
-10 -5 0
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
10
5
0
-5 5
-10 10
13
复变函数
三次函数
定义
w = z3
分析
2000 1000
0 -1000 -2000
-10 -5 0
10 5 0
-5 5
定义域和值域
相同点：
都是数集
不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
10
复变函数
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
3
复数
复数的表示
代数表示
z = x + iy
x = Real(z), y = Imagine(z)
三角表示
z = r (cosφ + i sinφ)
r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
z = r exp(iφ)
exp(iφ) = cosφ + i sinφ
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
6
复变函数
概念
定义
函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域） 的映射
实变函数：f:x→y 复变函数：f:z→w
举例
f(n) = fn = (1+i)n, n∈N f(z) = zn f(z) = exp(z) f(z) = ln(z)
16.04.2021
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
8
复 变 函 数
16.04.2021
复变函数的分类
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
整式
分式
幂级数
傅立叶级数
徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇
9
复变函数
分析与比较