x2 y2 i2xy
2）、 1 (z z*) Re z 2
1 (z z*) Im z 2i
3）、
1 2
( z1
z2 )*
1 2
( z1*
z
* 2
)
例：讨论式子 Re(1/ z) 2在复平面上的意义
解：
Re(1/ z) 2
z x yi
1 z
1 x yi
x yi x2 y2
Re(1/ z)
ei ei2 ei3 ein
W ei ei2 ei3 ein Wei ei2 ei3 ei(n1) Wei W ei(n1) ei
Argz 2k
(k 0,1,2)
0 arg z 2
为辐角的主值，为主
辐角，记为 arg z
y r
A(x, y)
Argz x
y r Argz
x
Argz y x r
y Argz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的 深度和意义。
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数
§1.1 复数与复数运算
（一） 复数的基本 概念 1、 复数表示
复数： z x yi
式中 i 1
x、y为实数，称为 复数的实部与虚部
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z1 z2
e e i1
i 2
1
2
ei(1 2 ) 12
12[cos(1 2 ) i sin( 1 2 )]
z1 z2 z1 z2
arg( z1 z2 ) arg z1 arg z2
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1 y1i)(x2 y2i) z2 x2 y2i (x2 y2i)(x2 y2i)
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
或指数式： z1 z2
x1 y1i x2 y2i
ei1 1
ei2 2
z1 z2
1 2
e i(1 2 )
1 2
[cos(1
2 ) i sin( 1
2 )]
Hale Waihona Puke 4、复数的乘方与方根乘方 z n ( ei )n nein
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
x x2 y2
2
x2 y2 x 2
为 (x 1 )2 y 2 ( 1 )2 圆上各点
4
4
例：计算 W a ib
解： 令
z a ib z (cos i sin ) W a ib [ z (cos i sin )]1/2
z a2 b2
sin b
a2 b2
z 1/2[cos( 2k ) i sin( 2k )]
y
y1 y2 y1
z1
y2 x1
z1 z2
z2
x
x2 x1 x2
z1 z2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 (x1 y1i)(x2 y2i)
1/ n i( 2k ) / n
n z 1/ nei / n
z e n
1/ n i( 2 ) / n
z e n
1/ n i( 4 ) / n
e z e n
1/ n i(2 / n)
1/ n i / n
注意：
1）、 z z* z 2 x2 y2
z z z2 (x yi)(x yi)
n (cos n i sin n) 故： (cos i sin )n cos n i sin n
方根 n z n ei e 1/ n i / n
e 1/ n i( 2k ) / n
(k 0,1,2,3) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k 2
k n
z e n
a cos cos 2 cos 3 cos n b sin sin 2 sin 3 sin n
W a ib cos cos 2 cos 3 cos n i(sin sin 2 sin 3 sin n )
(cos i sin ) (cos 2 i sin 2 ) (cos n i sin n )
(cos i sin )
ei
cos 1 (ei ei )
2
sin 1 (ei ei )
2i
（二） 无限远点 N
零点 无限远点
Riemann球面 复球面
A
z
S
（三）复数的运算 1、复数的加减法
z1 z2 x1 y1i (x2 y2i)
(x1 x2 ) ( y1 y2)i
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x2 y2 为复数的模
arctg( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
x cos y sin
arctg( y / x) Argz
由于辐角的周期性， 辐角有无穷多
e 应用： 2k i 1 1 e i
i e(2k /2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
解：z位于第二象限
arg z arctg y arctg( 3) 2
x
3
Argz arg z 2k 2k 2
3
共轭复数： z* (cos i sin )*
2
2
cos
a a2 b2
W2
W1
z 1/2[cos( ) i sin( )]
2
2
z 1/2[cos( 2 ) i sin( 2 )]
2
2
sin
2
1 cos
2
例：计算 cos cos 2 cos 3 cos n sin sin 2 sin 3 sin n
解： 令