与路径无关的四个等价命题
条 件
在单连通开区域D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 ( 2)
C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
命 ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy
D
曲线积分
当 R2 上平面曲线L时,



f ( M )d

L
f ( x , y )ds.
三重积分

当 R3 上区域时,
f ( M )d
f ( x , y, z )dV

曲线积分
当 R3 上空间曲线时,


f ( M )d


f ( x , y , z )ds.
lim f ( i , i )si
0 i 1
n
L P ( x, y )dx Q( x, y )dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
n
0
i 1
i
i
i
)S i
联 系 计
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS

f ( x , y, z )dS

2 f [ x, y, z( x, y )] 1 z x z2 y dxdy Dxy
R( x , y , z )dxdy
R[ x , y, z( x , y )]dxdy
Dxy
算 一投,二代,三换(与侧无关) 一投,二代,三定号 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
计算
曲线积分
定积分
Stokes公式 计算 曲面积分 Guass公式
计算 重积分
积分概念的联系
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
第十一章：小结
（一）曲线积分与曲面积分
（二）各种积分之间的联系 （三）各种积分的计算方法
（一）曲线积分与曲面积分
第一型曲线积分
（对弧长）
第一型曲面积分
（对面积）
曲 线 积 分
联 计 系 算
联 计 系 算
曲 面 积 分
第二型曲线积分
（对坐标)
第二型曲面积分
（对坐标）
曲线积分
对弧长的曲线积分
定 义 联 系
D yz

(dydz, dzdx, dxdy平面元素(曲面元素投影 ))
Dzx
Dxy
其中
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
Pdydz Qdzdx Rdxdy

( P cos Q cos R cos )dS

理论上的联系
曲面积分 当 R3 上曲面时,


f ( M )d
f ( x, y, z )dS .

计算上的联系
f ( x, y )d a dx y ( x ) f ( x, y )dy, (d面元素)
D
1
b
y2 ( x )
f ( x, y, z )dV

b
1.定积分与不定积分的联系

b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
Q P ( )dxdy Pdx Qdy (沿L的正向) L x y D 格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
P Q 题 (4) 在D内, y x
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
R( x , y, z )dxdy lim R( i ,i , i )( Si ) xy 0 i 1
n
定 f ( x, y, z)dS lim f ( , , 义
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz , (dV体元素)
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 dx , (ds线元素(曲))
a
b
L f ( x, y )dx a
b
f [ x , y( x )]dx , (dx线元素(投影))
f ( x , y, z )dS

2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy
Dxy
(dS曲面元素)
把曲面Σ向yoz , xoz , xoy面投影，得区域 D yz , Dzx , Dxy .
P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy.
P[ x( y , z ), y , z ]dydz Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx R[ x , y , z( x , y )]dxdy


f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
定积分
当 R1上区间 [a , b]时, f ( M )d



b
a
f ( x )dx .
二重积分
当 R2 上区域D时,


f ( M )d
f ( x , y )d .
L f ( x, y )ds

2 2
计
LPdx Qdy

[ P[ x( t ), y( t )] x t Q[ x ( t ), y ( t )] y t dt f [ x( t ), y( t )] x y dt t t 算 二代一定 (与方向有关) ( ) 三个代换