高数积分总结高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。

定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，)(x ϕμ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。

例：求⎰xdx 2cos 2解 ⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法：定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例：求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dx sec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=，且0tan sec >+t t∴1222222)ln(ln C a x x C a ax a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰，a C C ln 1-=3、分部积分法定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。

那么，两个函数乘积的导数公式为()'''μυυμμυ+=移项得 υμμυμυ')'('-= 对这个等式两边求不定积分，得⎰⎰-=dx dx υμμυμυ''此公式为分部积分公式。

例：求⎰xdx x cos解 ⎰⎰-=xdx x x xdx x sin sin cos∴⎰++=C x x x xdx x cos sin cos 分部积分的顺序：反对幂三指。

4、有理函数的积分例：求⎰+-+dx x x x 6512解 ∵)2)(3(652--=+-x x x x ，故设236512-+-=+-+x Bx A x x x 其中A,B 为待定系数。

上式两端去分母后，得)3()2(1-+-=+x B x A x即 B A x B A x 32)(1--+=+ 比较上式两端同次幂的系数，既有⎩⎨⎧-=+=+1321B A B A 从而解得 3,4-==B A 于是C x x dx x x dx x x x +---=⎪⎭⎫⎝⎛---=+-+⎰⎰2ln 33ln 423346512 其他有些函数可以化做有理函数。

5、积分表的查询 二、定积分1、定积分的定义和性质（1）定义：设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间[]b a ,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,,,,12110-各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i i x x ≤≤-ξξ1，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()n i x f i i ,,2,1)( =∆ξ，并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ记{}n x x x ∆∆∆=,,,m ax 21 λ，如果不论对[]b a ,怎么划分，也不论在小区间[]i i x x ,1-上点i ξ怎么选取，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分(简称积分)，记作⎰badx x f )(，即∑⎰=→∆==ni i i bax f I dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[]b a ,叫做积分区间。

定理1：设)(x f 在区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积。

定理2：设)(x f 在区间[]b a ,上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在[]b a ,上可积。

（2）性质1：[]⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()()(性质2：⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( (k 是常数)性质3：设b c a <<，则⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(性质4：如果在区间[]b a ,上1)(≡x f ，则a b dx dx bab a-==⎰⎰1性质5：如果在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则()b a dx x f ba<≥⎰0)(推论1：如果在区间[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则()b a dx x g dx x f bab a<≤⎰⎰)()(推论2：)()()(b a dx x f dx x f baba<≤⎰⎰性质6：设M 及m 分别是函数)(x f 在区间[]b a ,上的最大值和最小值，则))(()()(b a a b M dx x f a b m ba<-≤≤-⎰性质7(定积分中值定理)：如果函数)(x f 在积分区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上至少存在一个点ξ，使下式成立))()(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ2、微积分基本公式 (1)积分上限函数及其导数定理1：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则积分上限的函数()⎰=Φxadt t f x )(在[]b a ,上可导，并且它的导数))(()()('b x a x f dt t f dx d x xa≤≤==Φ⎰定理2：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数。

(2)牛顿-莱布尼茨公式定理3：如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰3、定积分的换元法和分部积分法(1)定积分的换元法 定理： 假设函数)(x f 在区间[a,b]上连续，函数x=ϕ(t)满足条件:ϕ(α)=a,ϕ(β)=b;ϕ(t)在[α,β]上具有连续导数，且其值域R ϕ=[a,b],则有⎰⎰=badtt t f dx x f βαϕϕ)()]([)('(1)公式(1)叫做定积分的换元公式 (2)定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得⎰⎰-=baa bb avdudx u uv v ]['三、反常积分（一）无穷限的反常积分定义1 设函数法f(x)在区间[a,∞+)上连续，取t>a,如果极限⎰+∞→tat dxx f )(lim存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,∞+)上的反常积分，即⎰⎰+∞+∞→=atat dxx f dx x f )()(lim（二）无界函数的反常积分定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，点a 为f(x)的丅点。

取t>a,如果极限⎰+→btt dxx f a)(lim存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作⎰badxx f )(，即⎰badxx f )(=⎰+→btt dxx f a)(lim例题 讨论反常积分⎰-112x dx的收敛性。

解：被积函数f （x ）=x 21在积分区间[-1,1]上除x=0外连续，且∞=→xx 21lim由于+∞=--=→-⎰1)1(lim 012x dxx x即反常积分⎰-012xdx发散，所以反常积分⎰-112xdx发散定积分()baf x dx ⎰的积分区间[]a b ，是有限区间，又()f x 在[]a b ，上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或()f x 推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分：1.无穷区间上的反常积分 （1）概念 定义：()()limbaab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰若极限存在，则称反常积分()af x dx+∞⎰是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称反常积分()af x dx+∞⎰是发散的，而发散的反常积分没有值的概念.()()limbbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.()()()ccf x dx f x dx f x dx+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰()()limlimcbaca b f x dx f x dx →-∞→+∞=+⎰⎰同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断()f x dx+∞-∞⎰的收敛性不能用()limRRR f x dx-→+∞⎰的极限存在性.必须要求()cf x dx-∞⎰和()cf x dx+∞⎰两个反常积分都收敛，才能知道()f x dx+∞-∞⎰是收敛的，但是如果已经知道()f x dx+∞-∞⎰是收敛的，而求它的值，那么计算()limRRR f x dx-→+∞⎰是可以的.（2）常用公式11, 11 1p p dx p x p +∞⎧=>⎪-⎨⎪≤⎩⎰收敛，发散， 11, 11(ln ) 1p p ep dxdu p x x u p +∞+∞⎧=>⎪-=⎨⎪≤⎩⎰⎰收敛，发散，k xax edx λλλ+∞-⎧⎨≤⎩⎰收敛(＞0）发散(0），k ≥(0）2.无界函数的反常积分（瑕积分） （1）概念： ①设()f x 在[)a b ，内连续，且()lim x b f x -→=∞，则称b 为()f x 的瑕点，定义()()lim b b aaof x dx f x dxεε+-→=⎰⎰若极限存在，则称反常积分()b af x dx ⎰收敛，且它的值就是极限值.若极限不存在，则称反常积分()ba f x dx⎰发散，发散的反常积分没有值的概念.②设()f x 在(]a b ，内连续，且()lim x a f x +→=∞，则称a 为()f x 的瑕点，定义()()0lim b baa f x dx f x dxεε++→=⎰⎰若极限存在，则称反常积分()b af x dx ⎰收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称反常积分()ba f x dx ⎰发散，它没有值.③设()f x 在[)a c ，和(]c b ，皆连续，且()lim x C f x →=∞，则称c 为()f x 的瑕点， 定义()()()()()12120lim lim bc bC baacaC f x dx f x dx f x dx f x dx f x dxεεεε++-+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰(值得注意：这里判别收敛性时，1ε和2ε要独立地取极限，不能都用0ε+→来代替)若上面两个极限都存在时才称反常积分()ba f x dx ⎰是收敛的，否则反常积分()baf x dx ⎰发散.（2）常用公式：10 q q dx x q ⎧⎨≥⎩⎰收敛(＜1时）发散(1时）类似地考虑101q dx x -⎰（）和11q dx x -⎰最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.(乙)典型例题一、用常规方法计算定积分 【例1】 求下列定积分（1）220cos x xdxπ⎰ （2）0arctan xdx（3）ln 0⎰解 （1）2222222000cos sin sin 2sin x xdx x d x x x x xdxππππ=-⎰⎰⎰=＝222002cos 2cos 2cos xd x x x xdxπππ=-⎰⎰＝2042sin 4x πππ-=（2）222200011arctan arctan 2221x x xdx xdx dxx ==-+＝203111221dx x ⎫-⎪+⎝⎭＝112arctan 222233ππππ--=+=-（3()2,ln 1t x t ==+22,01tdx dt x t ==+时0t =；ln 2x =时，1t =于是2ln 1122000212111t dt dt t t ⎡⎤==-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰ ＝102[arctan ]214t t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【例2】 计算下列定积分（分段函数） （1）1213x x dx--⎰ （2）1ln eex dx⎰（3）{}322min 1,x dx-⎰解 （1）()()101222113333x x dx x x dx x x dx ---=---=⎰⎰⎰（2）()1111ln ln ln eeeex dx x dx xdx=-+⎰⎰⎰＝()()1111ln ln 21eex x x x x x e ⎛⎫-++-=-⎪⎝⎭（3）{}311322221111min 1,3x dx dx x dx dx ----=++=⎰⎰⎰⎰二、用特殊方法计算定积分 【例1】 计算下列定积分（1）2(sin )(sin )(cos )f x I dxf x f x π=+⎰（f 为连续函数，(sin )(cos )0f x f x +≠）（2）40ln(1tan )I x dxπ=+⎰解 （1）令2xt，则2200(cos ),2,(cos )(sin )24f t I dt I dt I f t f t ππππ====+⎰⎰（2）令4xt，则4041tan 2ln 1()ln 1tan 1tan t I d t dt t t ππ-⎡⎤=+-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰＝ln 2,2ln 2,ln 2448I I I πππ-==【例2】 设连续函数()f x 满足()()1ln ef x x f x dx=-⎰，求()1ef x dx ⎰解 令()1ef x dx A=⎰，则()ln f x x A =-，两边从1到e 进行积分，得()1111ln (ln )(1)ee eef x dx xdx Adx x x x A e =-=---⎰⎰⎰于是1(1)(1),1,A e e A e eA A e =----==则()11ef x dx e =⎰三、递推公式形式的定积分 【例1】 设()2sin 012n n I xdx n π==⎰，，，求证当2n ≥时，21n n n I I n --=求n I 解 （1）()()2221110sincos sincos cos sin n n n n I xd x x x xd x πππ---=-=-+⎰⎰()()()22222201cos sin11sin sin n n n x xdx n x xdxππ--=-=--⎰⎰()()211n n n I n I -=---()21n n nI n I -=-，则()212n n n I I n n --=≥（2）220100sin 12I dx I xdx πππ====⎰⎰，　当2n k =，正偶数时，2220212123122222n k k k k k I I I I k k k ----===- ()()()()2222!2!222!2!k k k k k k ππ== 当21n k =+，正奇数时，21211222222121213n k k k k k I I I I k k k +--===++- ()()()()2222!2!21!21!k k k k k k ==++ 【例2】 设()2cos 012n n J xdx n π==⎰，，，，求证：()012n n J I n ==，，，证 令()2200cos sin 22nn n x t J t d t tdtππππ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰，则 ()012n n J I n == ，　，　，【例3】 设()420tan 1n n K xdx n π==⎰ ，2，3，求证：1121n n K K n -=--求()123n K n = ，　，　，解（1）()()42120tansec 1n n K x x dx π-=-⎰ ()4211tantan n n xd x K π--=-⎰1121n K n -=--（2）()442210tan sec 1K xdx x dx ππ==-⎰⎰[]4tan 140x x ππ=-=- ，231111134534K K ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当3n >，正整数时()()()1121111421k n nn n k K k π--=⎡⎤-=-+-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑四、重积分（一）二重积分的性质与概念 定义：设D 是面上的有界闭区域，在D 上有界，将区域D 任意分成n 个小闭区域，其中既表示第i 个小闭区域又表示它的面积，在每个小区域上任意取一点，作n个乘积，然后作和式记，如当时，以上和式有确定的极限，则称该极限为在区域D 上的二重积分，记作或，即其中称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分变量，D 称为积分区域，称为积分和式 几何意义当时，等于以区域D为底，曲面为顶的曲顶柱体体积；当时，等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数；当时，等于区域D的面积。