第四章 一元函数的积分及其应用
第一节 不定积分
一、原函数与不定积分的概念
定义1.设)(x f 是定义在某区间的已知函数，若存在函数)(x F ，使得)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=,则称)(x F 为)(x f 的一个原函数
定义2.函数)(x f 的全体原函数C x F +)(叫做)(x f 的不定积分，，记为:
其中
)(x f 叫做被积函数 x x f d )(叫做被积表达式 C 叫做积分常数 “⎰”叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式
性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即 ()⎰=='
⎰x x f x x f x f x x f d )(d )(d )(d )(；. 性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即
⎰≠=⎰)0(d )(d )(k x x f k x x kf .
性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即
三、换元积分法和分部积分法
定理1. 设)(x ϕ可导，并且.)(d )(⎰+=C u F u u f 则有
该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理 2.设)(t x ϕ=是可微函数且0)(≠'t ϕ，若)())((t t f ϕϕ'具有原函数)(t F ，则
该方法叫第二换元积分法
:)d (的原则或及选取v v u ' 1) v 容易求得 ; x v u x v u d d )2''⎰⎰比
解题技巧: :的一般方法及选取v u '
把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为u 后者为.v '
第二节 定积分概念
一、原函数与不定积分的概念
二、定积分的定义和存在定理
三、定积分的几何意义与定积分的性质
1．定积分的几何意义
2. 定积分的性质
性质1.=⎰±dx x g x f b a )]()([±⎰b a dx x f )(⎰b a
dx x g )(. 性质2. =⎰b a dx x kf )(k ⎰b a
dx x f )( (k 是常数).
性质3. =⎰
b a dx x f )(⎰+
c a dx x f )(⎰b c dx x f )(. 性质4.=⎰b
a dx x f )(a
b dx b a -=⎰.
推论1. 如果在],[b a 上，则),()(x g x f ≤≤⎰b a
dx x f )(⎰b a dx x g )( (a <b ). 推论2. ≤⎰b a dx x f )(⎰b
a dx x f )( 性质5. 0)(≥⎰
b a
dx x f )(b a <. 性质6. 设M 与m 分别是函数],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则
≤-)(a b m ≤⎰b a dx x f )()(a b M - (b a <).
性质7 .(定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a ]
上至少存在一点ξ，使下式成立：
))(()(a b f dx x f b a
-=⎰ξ (b a ≤≤ξ)
可积的充分条件: 定理1.上连续在函数],[)(b a x f ，则.],[)(可积在b a x f
定理2.,],[)(上有界在函数b a x f 且只有有限个间断点 ，则.],[)(可积在b a x f
第三节 微积分基本公式
一、微积分基本公式
1. 变上限函数
定义1. 设函数
)(x f 在区间],[b a 上连续，
则它在],[b a 任意一个子区间],[x a 上可积，则
⎰=Φx a
dx t f x )()( ( b x a ≤≤) 是上限变量x 的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数.
2. 微积分基本公式
定理2.=⎰b a
dx x f )(-)(b F )(a F 1.定积分的换元积分法
定理3.=⎰b a dx x f )([]dt t t f ⎰'βα
ϕϕ)()( 注：设)(x f 在],[a a -上连续,证明
(1)若)(x f 在],[a a -为偶函数，则 ⎰-a
a dx x f )(=⎰a dx x f 0)(2；
(2)若)(x f 在],[a a -上为奇函数，则 ⎰-a a
dx x f )(=0.
2.定积分的分部积分法
定理4.⎰-⎰=b
a b a b
a vdu uv udv ][ 第四节 定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~）
一、定积分的微元法
其实质是找出A 的微元dA 的微分表达式.
二、定积分在几何中的应用
1. 平面图形的面积 ⎰=b
a
dx x f A )(.
2. 旋转体的体积x x A V b a
d )(⎰=
三、定积分在物理上的应用
1.变力做功⎰=b a
x x F W d )( 2.液体静压dx x xf F b a
)(g ρ⎰= 四、定积分在医学上的应用。