P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))
P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))
P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧)
P(X=8)=5*(1/36)＝5/36
P(X=9)=4*(1/36)＝1/9
解:
2.设离散型随机变量X的分布律为:
X
-1
2
3
P
0.25
0.5
0.25
求X的分布函数,以及概率 , .
解:
则X的分布函数F(x)为:
3.设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数,且F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.
证:
4.如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:
求
解: 注:
习题2.3
1.设随机变量X的概率密度为:
求: (1)常数a; (2) ; (3)X的分布函数F(x).
解:
(1)由概率密度的性质
A=
(2)
一些常用特殊角的三角函数值
正弦
余弦
正切
余切
0
0
1
0
不存在
π/6
1/2
√3/2
√3/3
√3
π/4
√2/2
√2/2
1
1
π/3
√3/2
1/2
√3
√3/3
π/2
P(X=10)=3*(1/36)＝1/12
P(X=11)=2*(1/36)＝1/18
P(X=12)=1*(1/36)＝1/36
以上是X的分布律
投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y的取值了.
P(Y=1)=(1/6)*1=1/6一个要是1,另一个可以是任何值
P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36一个是2,另一个是大于等于2的5个值
(3)
即
注:,当X=0时, ;,当X=1时,
4.设随机变量X的概率密度为
求以下Y的概率密度:
(1)Y=3X; (2) Y=3-X; (3)
解: (1) Y=g(x)=3X,
即
(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y, -1
即
(3) , X=h(y)= ,
,即
5.设X服从参数为λ=1的指数分布,求以下Y的概率密度:
求: (1) ; (2)
解:
(1)
(2)(2)
5.设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程 (利用二次式的判别式)
解: K~U(0,5)
方程式有实数根,则
故方程有实根的概率为:
6.设X ~ U(2,5),现在对X进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.
解:
至少有两次观测值大于3的概率为:
7.设修理某机器所用的时间X服从参数为λ=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.
(1)
(2)
8.甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.
解:设X表示各自投中的次数
投中次数相等的概率=
9.有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松分布定理计算)
解:设X表示该段时间出事故的次数,则X~B(1000,0.0001),用泊松定理近似计算 =1000*0.0001=0.1
10.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求:
(1)每分钟恰有8次呼唤的概率;
(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率.
解: (1)
(2)
习题2.2
1.求0-1分布的分布函数.
A. B.
C. D.
8.设连续型随机变量X的概率密度为 则 =B .
A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1
解:
9.设随机变量X~U(2,4),则 =A. (需在区间2,4内)
A. B.
C. D.
10.设随机变量X的概率密度为 则X~A .
A. N (-1, 2) B. N (-1, 4) C. N (-1, 8) D. N (-1, 16)
(1)
(2)
(3)
(4)
5.设随机变量X的分布函数为
F(x) =a+barctanx,
求(1)常数a,b;
(2)
解: (1)由分布函数的基本性质 得:
解之a= , b=
(2)
(将x=1带入F(x) =a+barctanx)注:arctan为反正切函数,值域( ),arctan1=
6.设随机变量X的分布函数为
13.设X~N(5,9),已知标准正态分布函数值 ,为使 ,则
常数a<6.5.解: ,
14.设X~N(0,1),则Y=2X+1的概率密度 = .
解:
三.袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取2个球,以X表示取到红球的数,求X的分布律.
解: X=0,1,2
当X=0时,
当X=1时,
当X=2时,
X的分布律为:
解: (1)
(2)因4个电子组件损坏与否相互独立,故:
8.设连续型随机变量X的分布函数为 其中概率密度为f(x),
则f(1)= .
9.设连续型随机变量X的概率密度为 其中a>0.要使 ,则常数a=
3.
解:
10.设随机变量X~N(0,1), 为其分布函数,则 =1.
11.设X~N ,其分布函数为 为标准正态分布函数,则F(x)与 之间的关系是
= .
12.设X~N(2,4),则 =0.5.
习题2.1
1.设随机变量X的分布律为P{X=k}= ,k=1, 2,N,求常数a.
解:由分布律的性质 =1得
P(X=1) +P(X=2) +…..+P(X=N) =1
N* =1,即a=1
2.设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为 , ,求常数c.
解:
C=
3.将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得的点数之和,以Y表示两次出现的最小点数,分别求X,Y的分布律.
以上是Y的分布律了.
4.设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X表示取出的次品的个数,求X的分布律.
解:X=0,1,2
X=0时,P=
X=1时,P=
X=2时,P=
5.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为 ,连续抛掷8次,以X表示出现正面的次数,求X的分布律.
11.已知随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=-2X,则Y的概率密度fy(y)为D.
A. B. C. D.
二,填空题
1.已知随机变量X的分布律为
X
1
2
3
4
5
P
2a
0.1
0.3
a
0.3
则常数a=0.1.
解:2a+0.1+0.3+a+0.3=1
2.设随机变量X的分布律为
X
1
2
3
P
记X的分布函数为F(x)则F(2)= .解:
X
0
1
2
P
四.设X的概率密度为 求: (1)X的分布函数F(x);(2) .
解: (1)
;
(2)
五.已知某种类型电子组件的寿命X(单位:小时)服从指数分布,它的概率密度为
一台仪器装有4个此种类型的电子组件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设4个电子组件损坏与否相互独立.试求: (1)一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率 ;(2)一台仪器能正常工作2000小时以上的概率 .
(1)Y=2X+1; (2) (3)
解: (1)Y=g(x)=2X+1,
X的概率密度为:
即
(2)
即
(3)
,
即
6.X~N(0,1),求以下Y的概率密度:
(1)
解: (1)
当X=+Y时:
当X=-Y时:
故
即
自测题
一,选择题
1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品,从中随机地,有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数,则P{X=3}=C .
1
0
不存在
0
π
0
-1
0
不存在
(3)X的概率分布为:
2.设随机变量X的概率密度为
求: (1)常数a; (2) ;(3)X的分布函数.
解:
(1) ,即a=
(2)
(3)X的分布函数
3.求下列分布函数所对应的概率密度:
(1)
解: (柯西分布)
(2)
解: (指数分布)
(3)
解: (均匀分布)
4.设随机变量X的概率密度为
A. B. C. D.
2.设随机变量X~B(4,0.2),则P{X>3}=A .
A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.8192
解:P{X>3}=P{X=4}= (二项分布)
3.设随机变量X的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是D .
A. B. C. D. F(x)为连续函数
4.下列各函数中是随机变量分布函数的为B.
A. B.
C. D.
5.设随机变量X的概率密度为 则常数a=A.
A. -10 B. C. D. 10解: F(x) =