习题1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.(4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2,,6}i j i j Ω===;(2){|0,1,,9}i i Ω==;(3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … };(4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次,正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)};(5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤.2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”.(2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”.解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=;(2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =;(3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =.3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:(1) 事件“,,A B C 中至少有一个事件发生”. (2) 事件“,,A B C 中至少有两个事件不发生”. (3) 事件“,,A B C 中至多有一个事件不发生”. (4) 事件“,,A B C 中至少有一个事件不发生”. (5) 事件“,A B 至少有一个发生,而C 不发生”. 解:(1)A B C ; (2)()()()A BA CBC 或 ()()()()A B C A B C AB C A B C ;(3)()()()()ABC A BC AB C AB C 或()()()AB AC BC ;(4)A B C ; (5)()A B C 或()()()ABCABC ABC .4. 指出下列命题哪些成立,哪些不成立 (1) ()A B AB B =. (2) ()A B AAB =.(3) ()()A AB AB =. (4) ()A B C A B C =.(5) A B A B =. (6) ()()AB AB =∅.(7) A B ⊂等价于A B B =或AB A =或B A ⊂. (8) 若AB =∅,则A B ⊂.解:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)正确;(5)错误;(6)正确;(7)正确;(8)正确.5. 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A 表示被选学生是女生, 事件B 表示被选学生是三年级学生, 事件C 表示被选学生是运动员. (1)叙述ABC 的意义.(2)在什么条件下ABC A =成立 (3)什么时候A C =成立解: (1)被选学生是三年级男运动员;(2)因为ABC A =等价于A BC ⊂,即数学系的女生全部都是三年级运动员; (3)数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.6. 试用维恩图说明,当事件A ,B 互不相容,能否得出A ,B 也互不相容 解: 不能.7. 设样本空间{}010x x Ω=≤≤, 事件{}27A x x =≤≤,{}15B x x =≤≤,试求: ,,,A B AB B A A B -.解:{}17A B x x =≤≤;{}25AB x x =≤≤;{}12B A x x -=≤<;[0,2)(5,10]A B AB ==.习题(6) 设A B ⊂,()()0.2,0.3,P A P B ==求(1)()P A B ; (2)()P BA ;(3)()P A B -. 解: ()()0.3P A B P B ==;()()()0.1P B A P B P A =-=;()()0P A B P -=∅=.(7) 设()(),P AB P A B = 且()2,3P A =求()P B .解:注意到()()1()1()()()P A B P A B P A B P A P B P AB ==-=---. 从而由()()P AB P A B =得()()1P A P B +=.于是1()1()3P B P A =-=.(8) 设,,A B C 为三个随机事件, 且1()()(),2P A P B P C ===1()(),3P AB P BC ==()0P AC =,求()P A B C .解: 由()0P AC =知()0P ABC =. 于是由广义加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+325236=-=.(9) 设,A B 为两个随机事件,且()0.7,()0.9P A P B ==,问: (4)在什么条件下, ()P AB 取到最大值,最大值是多少 (5)在什么条件下, ()P AB 取到最小值,最小值是多少解:(1)由于()()()()P AB P A P AB P B ≤≤且.由此可见在A B ⊂条件下,()P AB 取到最大值()0.7P A =. (6)注意到()()()()P AB P A P B P A B =+-. 因此当()1P A B =时,()P AB 取到最小值0.70.910.6+-=.思考: 有人说(2),在AB =∅时,()P AB 取到最小值0. 你能指出错误在什么 地方吗(10) 设,A B 为两个随机事件,证明: (1) ()1()()()P AB P A P B P A B =--+.(2) 1()()()()()()P A P B P AB P A B P A P B --≤≤≤+.证明:(1)由广义加法公式可得 ()1()1()()()P AB P AB P A P B P A B =-=--+.(2)由(1)立得1()()()P A P B P AB --≤. 其余不等式是显然的.(11) 设,,A B C 为三个随机事件,证明:()()()()P AB P AC P BC P A +-≤. 证明:由广义加法公式可得()(())(()())()()()()()().P A P A B C P AB AC P AB P AC P ABC P AB P AC P BC ≥==+-≥+-(12) 设12,,,n A A A 为n 个事件,利用数学归纳法证明:(1) (次可加性) ()121()nn k k P A A A P A =≤∑.(2) ()121()(1)nn k k P A A A P A n =≥--∑.证明: (1) 当2n =时, 由广义加法公式有()21212121()()()()k k P A A P A P A P A A P A ==+-≤∑.即对2n =成立.假设对n k =成立, 于是()12112111()()()()().kk k k k k P A A A A P A A A P A P A P A P A +++≤+≤+++即对1n k =+成立. (1)得证.(2)当2n =时, 由广义加法公式有()12121212()()()()()1P A A P A P A P A A P A P A =+-≥+-.即对2n =成立.假设对n k =成立, 即()121()(1)kk i i P A A A P A k =≥--∑.于是()1211211111()()1()(1)()1().k k k k k i k i k i i P A A A A P A A A P A P A k P A P A k +++=+=≥+-≥--+-=-∑∑ 即对1n k =+成立. (2)得证. (13) 设12,,A A 为一列事件，且1,1,2,n n A A n +⊂=，证明:1()lim ()n n n n P A P A +∞→+∞==.证明:(利用性质6(1)的结论) 显然12,,A A 为一列事件，且1,1,2,n n A A n +⊂=，即性质6(1)的条件成立,因此1()lim ()n n n n P A P A +∞→+∞==.于是11()1()1lim ()lim ()n n n n n n n n P A P A P A P A +∞+∞→+∞→+∞===-=-=.习题(7)掷两颗均匀的骰子,求下列事件概率: (1)两颗骰子的点数相同;(2)两颗骰子的点数之和为偶数;(3)一颗骰子的点数恰是另一颗骰子的点数的两倍.解:(1)16; (2) 12; (3)318.(8)有五条线段,长度分别为1,3,5,7,9(单位cm),从这五条线段中任取三条,求所取的三条线段能拼成三角形的概率. 解:由古典概型可得所求的概率为353310C =. (9)一个小孩用13个字母:A 、A 、A 、C 、E 、H 、I 、I 、M 、M 、N 、T 、T 做组字游戏.如果字母的各种排列是随机的,问组成”MATHEMATICIAN ”一词的概率为多少解:由古典概型可得所求的概率为3!2!2!2!13!. (10)n 个人随机地排成一列,甲、乙是其中的两个人,求甲、乙两人之间恰好有r 个人的概率, 这里0,1,,2r n =-.解:由古典概型可得所求的概率为2(1)!!2!!rn C n r r n -⋅--.(11) n 个男孩和m 个女孩(1m n ≤+)随机排成一列,求任意两个女孩都不相邻的概率.解:n 个男孩和m 个女孩(1m n ≤+)随机排成一列共有()!n m +种排法. 任意两个女孩都不相邻可按如下方式进行: 先将n 个男孩排好,共有1n +个间隔,从1n +个间隔中选出m 个位置进行女生排列.因此排法总数为1!!m n C n m +.从而由古典概型可得所求的概率为1!!()!m n C n m n m ++.(12) 从n 双尺码不同的鞋子中任取2(2)r r n <只,求下列事件的概率:a) 所取的2r 只鞋子中没有两只成对的; (2) 所取的2r 只鞋子中只有两只成对的; (3) 所取的2r 只鞋子恰成r 对.解:(1)2222r r n r n C C ⋅;(2)12(1)2(1)1222r r n n rnC C C ---⋅⋅;(3)22r n r n C C . (13) 掷一枚均匀的硬币n 次,求出现的正面次数多于反面次数的概率.解:设A 表示硬币出现的正面次数多于反面次数,B 表示硬币出现的反面次数多于正面次数,C 表示硬币出现的反面次数等于正面次数.易见()()()1P A P B P C ++=, ()()P A P B =.当21n m =+时,易见()0P C =,从而1()2P A =. 当2n m =时,易得21()2n n nP C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.从而211()122n n n P A C ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(14) 从一个装有a 个白球,b 个黑球的袋中逐一将球不放回地随机取出,直至留在袋中的球都是同一颜色的球为止,求最后留在袋中的球都是白球的概率.解:此题设想将袋中的a 个白球和b 个黑球全部摸出,则最后一次(第a b +次)摸出白球与本题所述的事件相同.因此由抽签原理可得所求的概率为aa b+. (15)口袋中有5个白球、3个黑球,从中任取两个,求至少取到一个白球的概率.解:所求的概率为23281C C -.(16)某人有m 把钥匙，其中只有一把能打开门,他一把接一把地试开门,不能开门的就扔掉．求他恰好在第k 次把门打开的概率． 解:所求的概率为()()1(2)(1)111(1)m m m k m m m k m-⋅--+⨯=⋅--+.(17)任取一个正整数,求下列事件的概率:a) 该数平方的个位数是1; (2)该数立方的个位和十位都是1.解:(1)我们知道一个数平方的个位数只与该数的个位数有关.因此我们观察取出数的个位数,其样本空间为{0,1,2,,9}Ω=.易知其是古典概型.设A 表示该数平方的个位数是1, 则{1,9}A =,于是2()10P A =. (2)一个数立方的个位和十位与该数的个位和十位有关.因此我们观察取出数的个位和十位数,其样本空间为{00,01,02,,99}Ω=,B 表示该数立方的个位和十位都是1.则{71}B =,于是1()100P B =. (18)某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，假设拔完规定电话位数算完成一次拨号，且假设对方电话不占线，试问他拨号不超过四次就能接通电话的概率是多少 解:所求的概率为191981987141010910981098710⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯. (19)一公司批发出售服装，每批100套．公司估计某客商欲购的那批100套服装中有4套是次品，12套是等级品，其余是优质品，客商在进货时要从中接连抽出2套做样品检查，如果在样品中发现有次品，或者2套都是等级品，客商就要退货．试求下列事件的概率：(1)样品中1套是优质品，1套是次品；(2)样品中1套是等级品，1套是次品；(3)退货；(4)该批货被接受；(5)样品中恰好有1套优质品． 解:(1)样品中1套是优质品，1套是次品的概率为2100844C ⨯; (3))样品中1套是等级品，1套是次品的概率为2100124C ⨯; (4)退货的概率为229612221001001C C C C ⎛⎫+- ⎪⎝⎭;(5)该批货被接受的概率为22229696121222210010010011C C C C C C C ⎡⎤⎛⎫--+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦; (6)样品中恰好有1套优质品的概率为21008416C ⨯. (20)在桥牌比赛中,把52张牌(不包括大小王)任意地分给东、南、西、北四家(每家13张牌),求下列事件的概率:(1)北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花;(2)南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃；(3) 南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃.解:(1)北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率为54311313131339!13!13!13!52!13!13!13!13!C C C C ⋅或54311313131352!13!39!C C C C ;(2)南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃的概率为13!39!9!2!2!17!11!11!52!26!13!13!⋅;(3)南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃的概率为13!39!9!1!3!17!12!10!52!26!13!13!⋅.(21)将3个球随机地放入4个杯子,求4个杯子中球的个数最大值为2的概率.解: 3个球随机地放入4个杯子共有34种放法. 4个杯子中球的个数最大值为2相当于先从3个球中任意地选出2个球作为一个整体和另外一个球放到4个杯子(注意不能同时放入同一个杯子)的放法总数为24A .于是所求的概率为2434A . (22) 设集合A 有4个元素, 集合B 有3个元素,随机地作集合A 到集合B的映射,求该映射为满射的概率.解:该映射为满射的概率为2443!3C ⋅.(23)将m 个球随机地放入n ()n m ≤个盒子中,求下列事件的概率:(14) 每个盒子中均有球; (2)恰好有1个盒子空着的概率. 解:设i A 表示第i 个盒子无球,1,2,,i n =.(6) 设A 表示每个盒子中均有球.则1212n n A A A A A A A ==.注意到(1)()mi m n P A n -=, 1,2,,i n =,(2)()mi j mn P A A n-=,1i jn ≤<≤,1212()(),1,1,2,,.k mi i i k mn k P A A A i i i n k n n -=≤<<<≤=于是由广义加法公式有()112121112111()()(1)()(1)(2)1().nn n i i j n i i j nm mn nn nm mmm n k n mk P A A A P A P A A P A A A n n C C C n nn n k C n +=≤<≤--==-++---=+++-=∑∑∑从而()()112121()()11mn kn n nmk n k P A P A A A P A A A C n -=-==-=-∑. (7) 恰好有1个盒子空着可以这样理解,先从n 个盒子任意选定1个空盒,然后将m 个球随机地放入1n -个盒子,使得1n -个盒子都有球. 从而由(1)及乘法原理可知"恰好有1个盒子空着"共有2111(1)(1)n m k m nn k C n C n k --=⎡⎤----⎢⎥⎣⎦∑样本点,于是其概率为2111(1)(1)n m k m nn k m C n C n k n --=⎡⎤----⎢⎥⎣⎦∑. (24)某班有m 个同学参加面试,共有n ()n m≤张考签,每人抽到考签用后即放回,在面试结束后,求至少有一张考签没有被抽到的概率. (8) 解:设i A 表示第i 张考签没有被抽到,1,2,,i n =.设A 表示至少有一张考签没有被抽到. 则12n A A A A =.注意到(1)()mi m n P A n -=, 1,2,,i n =,(2)()mi j mn P A A n-=,1i j n ≤<≤,1212()(),1,1,2,,.k mi i i k mn k P A A A i i i n k n n -=≤<<<≤=于是由广义加法公式有()112121112111()()()(1)()(1)(2)1().nn n i i j n i i j nm mn nn nm mmm n k n mk P A P A A A P A P A A P A A A n n C C C n nn n k C n +=≤<≤--===-++---=+++-=∑∑∑(25) 从n 阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率为多少解:设i A 表示所取的项含第i 行第i 列主对角线元素,1,2,,i n =.设A 表示所取的项包含主对角线元素. 则12n A A A A =.注意到(1)!()!i n P A n -=, 1,2,,i n =, (2)!()!i j n P A A n -=,1i j n ≤<≤,1212()!(),1,1,2,,.!k i i i k n k P A A A i i i n k n n -=≤<<<≤=于是由广义加法公式有()1121211121()()()(1)()(1)!(2)!1!!!1.!nn n i i j n i i j nn nn nnk P A P A A A P A P A A P A A A n n C C C n n n k +=≤<≤===-++---=+++=∑∑∑习题1. 已知111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,求()P B ; ()P A B ;()P A B . 解：注意到1()()(|),12P AB P A P B A ==故 ()1/121()(|)1/26P AB P B P A B ===.1()()()()3P A B P A P B P AB =+-=.1()()()6P A B P A P AB =-=. □2. 设()0.4,()0.7,P A P B ==试证:(|)0.5.P B A ≥证明: 因为()()()()()0.3P A B P B P AB P B P A =-≥-=, ()1()0.6P A P A =-= . 故 ()0.3(|)0.5.0.6()P A B P B A P A =≥= □ 3. 设N 件产品中有M 件不合格品,从中逐一不放回地取出两件产品, (6)已知第一次取出不合格品,求第二次也取出不合格品的概率;(7)已知所取的两件产品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解:(1)设i A 表示"第i 次取出不合格品",1,2i =. 于是所求的概率为211()1M P A A N -=-. (2)设A 表示所取的两件产品中有一件是不合格品, B 表示另一件也是不合格品. 于是所求的概率为2222222()().()1MN M N M N N MNC C C P AB P B A C P A C C C --===-- □ 4. 掷两颗均匀的骰子,(1)已知点数和为偶数,求点数和等于8的概率;(2) 已知点数和为奇数,求点数和大于6的概率;(3) 已知点数和大于6,求点数和为奇数的概率.解: (1)所求的概率为518; (2)所求的概率为1218; (3)所求的概率为1221. □ 5. 一个家庭中有三个小孩,已知其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率. 解: A 表示三个小孩中有一个是女孩, B 表示三个小孩中至少有一个是男孩,于是所求的概率为()6/86().()7/87P AB P B A P A === □ 6. 为防止意外事故，在矿井内同时安装两种警报系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效率A 为,B 为，在A 失灵条件下B 有效概率为．求：(1)发生事故时，这两种警报系统至少有一个有效的概率；(2)在B 失灵条件下，A 有效的概率. 解:A 表示系统A 有效, B 表示系统B 有效. 由题意知()0.92,()0.93,(|)0.85P A P B P B A ===,从而()(|)()0.850.080.068,P A B P B A P A ==⨯= ()()()0.862P AB P B P A B =-=.(1)所求的概率为()()()()0.988P A B P A P B P AB =+-=.(2)所求的概率为()()()(|)0.8291()()P A B P A P AB P A B P B P B -===-. □7. 口袋中有1只红球和1n -只白球,现从中一个一个不放回地取球, (1) 已知前1()k k n -≤次都没有取到红球,求第k 次取出红球的概率. (2) 求第k 次取出红球的概率. 解: (1)所求的概率为11n k -+;(2)所求的概率为1n. □ 8. 口袋中有a 只白球、b 只黑球和3个红球,现从中一个一个不放回地取球,试求白球比黑球出现得早的概率. 解:设A 表示白球比黑球出现得早,i B 表示第i 次取出白球, i C 表示第i 次取出黑球, i D 表示第i 次取出红球, 则1121231234()()()A B D B D D B D D D B =, 且1121231234,,,B D B D D B D D D B 两两互斥,于是1121231234()()()()()P A P B P D B P D D B P D D D B =+++aa b=+. □ 9. 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是，，，. 求任取一位射手，他能通过选拔进入比赛的概率. 解: 设i B 表示选出i 级射手,1,2,3,4i =. A 表示选出的射手能通过选拔进入比赛. 于是由全概率公式得41()(|)()0.645.iii P A P A B P B ===∑ □10. 12个乒乓球中有9个新球，3个旧球，第一次比赛，取出3个球，用完放回，第二次比赛又取出3个球.求第二次取出的3个球中有2个新球的概率. 解:设i B 表示第一次比赛取出3个球中有i 个新球, 0,1,2,3i =. A 表示第二次取出的3个球中有2个新球. 由全概率公式知21333939333001212()(|)().i i i ii i i i C C C C P A P A B P B C C --+====⨯∑∑ □ 11. 某商店出售尚未过关的某电子产品，进货10件，其中有3件次品，已经售出2件,现要从剩下的8件产品中任取一件，求这件是正品的概率. 解: 设i B 表示已经售出2件产品中有i 件次品,0,1,2i =.A 表示从剩下的8件产品中任取一件产品是正品.则由全概率公式知222372001057()(|)().810i i i i i i C C i P A P A B P B C -==⋅+==⨯=∑∑ □ 12. “学生参加选择题的测验,每一个题目有5个备选答案，其中有一个正确．若该学生知道答案，则他一定能选出正确的答案，否则他随机地从5个答案中选一个．若该学生知道所有试题的70％的正确答案，求：(1)对一试题，该学生选得正确答案的概率是多少(2)若该学生对一试题已选得正确答案，问他真正知道此题答案的概率是多少13. 设有来自3个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生报名表的概率.(2) 已知后抽到的一份是男生报名表,求先抽到的一份是女生报名表的概率. 14. 口袋中有一球,不知它的颜色是黑的还是白的,假设”该球是白球”的可能性为12.现再往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只,已知取出的是白球,求口袋中原来那只球是白球的概率.解: 设B 表示"往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只是白球," A 表示口袋中原来那只球是白球. 则由贝叶斯公式知11(|)()22(|)1113(|)()(|)()1222P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯===+⨯+⨯. □15. 甲、乙两人轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷.试求第n 次由甲掷的概率. 解:设i A 表示第i 次由甲掷, 1,2,,i n =.显然125()1,()6P A P A ==, 1151(|),(|)66i i i i P A A P A A ++==,1,2,,i n =.于是由全概率公式有111()(|)()(|)()51()(1())6614(),1,2,,.66i i i i i i i i i i P A P A A P A P A A P A P A P A P A i n +++=+=⋅+⋅-=+⋅=从而112()123i i P A -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 2,,i n =. □16. 设()0P A >,证明:()(|)1()P B P B A P A ≥-. 证明:注意到()()()()()P AB P A P AB P A P B =-≥-, 不等式两边同除以()P A 得()()()()(|)1()()()P AB P A P B P B P B A P A P A P A -=≥=-. □ 17. 设0()1P B <<,证明: (|)()P A B P A ≤的充要条件是(|)()P A B P A ≥.证明:(|)()()()()()()()()()()()()(|)().P A B P A P AB P A P B P AB P A P AB P A P A P B P A P B P A B P A ≤⇔≤⇔=-≥-=⇔≥ □。