0
0
0
1 2
2(1 )
4
第四章 平面结构问题的有限单元法
无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力
与 应变 之间的关系均为：
D 0 ，其中：
x
y
T xy
式中 0 为初应变。
x
y
T xy
4.3 平面问题的离散化
(a) 三结点三角形单元 (b) 四结点正方形单元 (c) 四结点矩形单元 (d) 四结点四边形单元
0 y
3 4
5
6
7
第四章 平面结构问题的有限单元法
简写为： f M
由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入 3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为
ui 1 xi
vi
0
0
yi 0 0 0 1 xi
0 1
yi
2
u v
j j
1 0
xj 0
yj 0
00 1 xj
0 yj
3 4
u
m
1
xm
ym
0
0
0
vm 0 0 0 1 xm ym 6
简写为：{}e A
8
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4.2 形函数矩阵
解出
[ A]1{ }e
ai 0 a j 0 am 0
bi
0 bj
0 bm
0
[ A]1
1 2
c0i
0 ai
cj 0
0 aj
cm 0
平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应 变问题。
图4-1 平面问题应力状态
2
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.1 平面应力问题
如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其 它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受 作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时 以中性面为研究对象。其力学特点是：
x y
xy
1
2 1
2
1
2
(bi u i (ci vi (ci ui
bjuj cjvj cjuj
bmum ) cmvm ) cmum )
(bivi
bjv j
bmvm )
12
第四章 平面结构问题的有限单元法
x y
xy
1 21 21 2
(bi ui (ci vi (ci ui
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
[INi
IN j
INm ]{}e
(4-12)
u
m
vm
11
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4.3 单元的应力与应变
由几何方程知

y
0
y
uv
x
(4-13)
将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得
x
j
ym
x m
y
1
bi
1
yj ym
y j ym
1 ci 1
xj xm
xm x j
其中记号
表示将i、j、m进行轮换后，可得
出另外两组带脚标的a、b、c的公式。
单元位移函数为结点位移的插值函数，即
u
1 2
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm x
cm
y)um
]
作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均
匀分布。其力学特点是：
x 0, xz 0, yz 0
图4-2(b) 平面应变问题
但一般情况下 z 0 。
，
平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成 E
换成 1 即可。
1 2
1
D
E(1 u) (1 )(1 2)
1
1
1
0
图4-3 平面问题单元的主要类型
5
第四章 平面结构问题的有限单元法
图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力
作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称 性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各
单元之间以结点相连。
(a) 均匀受力板力学模型
(b) 力学模型离散化
图4-4 平面问题有限单元法的计算力学模型
0
am
0
bi
0 ci
0 bj 0 cj
0
bm
0 cm
其中， 是三角形单元的面积，当三角形单元结
点i、j、m按逆时针次序排列时，则有
1 2
1 2 (xi y j
x j ym
xm yi )
1 2 (x j yi
xm y j
xi ym )
9
第四章 平面结构问题的有限单元法
ai
xj xm
yj ym
bjuj cjvj cjuj
bmum ) cmvm ) cmum )
(bi vi
bjvj
bmvm )
简写为： {} [B]{ }e
(4-14)
由于[B]是常量，单元内各点应变分量也都是常量， 这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常
应变三角形单元。
[B]
1 2
b0i ci
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.1 平面应力问题 4.2 平面应变问题 4.3 平面问题的离散化 4.4 平面三结点三角形单元 4.5 ANSYS平面结构计算示例
1
第四章 平面结构问题的有限单元法
严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态， 因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问 题都可以简化成平面问题。
v
1
2i. j.m
1 2 [(ai
(ai bi x bi x ci
ci y)ui y)vi (a
j
bj
x
c
j
y)v
j
(am
bm x
cm
y)vm
]
(4-9)
1 2i. j.m
(ai bi x ci y)vi
10
第四章 平面结构问题的有限单元法
令
Ni
1 2
(ai
bi x ci y)
(4-10)
在式(4-10)中表示的 Ni、N j、Nm 称为形函数，于
是位移函数表达式用形函数表示为：
u Niui v Nivi
N ju j N jvj
N mum N mvm
Niui
i、j、m
Nivi
i、j、m
(4-11)
写成矩阵形式
ui
vi
{
f
}
u
v
Ni
0
0 Ni
6
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4 平面三结点三角形单元
4.1.1 位移函数
如果把弹性体离散成为有限 个单元体，而且单元很小时，就 很容易利用其结点的位移，构造 出单元的位移插值函数，即位移 函数。
图4-5 三角形单元
1
2
位移函数矩阵形式：uvxx
y 1 y 0
x 0
y 0
0 1
0 x
z 0, xz zx 0, yz zy 0,
。
z 0
图4-2(a) 平面应力问题
平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：
D
E 1
2
1
0
1 0
0
0
1
2
3
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.2 平面应变问题
图示为一圆形涵洞的横截面。
其长度方向上的尺寸远比其它两个
方向上的尺寸大得多，同样，载荷