F ( Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
结点位移列阵 δ (ui vi u j v j ) 。
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
二. FEM中应用的方程： 1. 几何方程
u v u v ε x y x y
T
(6-6) (6-8)
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
其中 1 ~ 6 包含 xi , yi ,及ui , vi ,。 将式 （a） 按未知数ui , vi , 归纳，可表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。 或用矩阵表示为
T
Fix
Fiy vi
i
Fiy
——单元对结点 的作用力，与Fi 数 值相同,方向相反， 作用于结点。
y v j Fjy j o
i
uj
Fjx
ui Fix
vm
Fmy
m x
um
Fmx
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功
等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
5 3
5 3
u u0 y, v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
对式（a）求应变，得
x 2 , y 6 , xy 3 5 , 可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部，位移为连续； 在两单元边界ij 上， δ i 和δ j 之间均为线 性变化，也为连续。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重 要的。∴三角形单元的位移模式，可取为 u 1 2 x 3 y , （a） v 4 5 x 6 y。 插值公式 （a）在结点 xi , yi (i, j, m), 应等 于结点位移值 ui , vi (i, j, m),由此可求出1 ~ 6。
结构离散化
将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单 元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结 起来，构成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 图（c）与图（a）相比，两者都是离 散化结构；区别是，桁架的单元是杆件， 而图（c）的单元是三角形块体（注意：三 角形单元内部仍是连续体）。
e
ζ Sδ 。
e
(d)
（5）应用虚功方程，由单元的应力 ζ，求出 单元的结点力，表示为
F (Fi F j Fm kδ 。 (f )
e e
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
Fi ( Fix Fiy T ——结点对单元的作用力，作用
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi ( Fix Fiy
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三 角形块体，在三角形内仍是作为连续体来 分析的。试考虑后者在用结构力学方法求 解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
位移模式
§6-3
(6-19)
A为三角形ijm的面积（图示坐标系中， i,j,m按逆时针编号），
1 xi 2A 1 xj 1 xm
yi y j 。 (6-20) ym
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
三结点三角形单元的位移模式，略去了 2 二次以上的项，因而其误差量级是o(x ); 且其中只包含了x, y 的一次项，所以在单元 中N i 的分布如图（a）所示， u和v 的分布如 图(b)、 (c) 所示。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
一.基本物理量： 体力 面力
f ( fx f y ) 。
T
(6-1) (6-2) (6-3) (6-4)
T
f ( fx f y ) 。
T
应力
应变 位移函数 结点力
ζ (σ x σ y τ xy )T 。
ε (ε x ε y γxy )T 。
T
d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。 (6-5)
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
二.应用结构力学方法(位移法)进行求解: 仿照桁架的结力位移法，来求解图 （c）的平面离散化结构。其中应注意， 三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方 法进行分析。 分析步骤如下：
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（1）取各结点位移 δi (ui v i )T (i 1,2,为基 ) 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理 量,并均用 δi (i 1,2,) 来表示。 （2) 应用插值公式, 由单元结点位 T ，求单元的位移函数 移 δe ( δ i δ i δ m)
其中：N — 称为形（态）函数矩阵。
e — 称为节点位移列阵。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
其中：Ni (ai bi x ci y ) 2 A ,
(i, j , m)
xj ai xm
1 yi yj , , bi 1 ym ym
1 xi ci .(i, j, m) 1 xm
导出方法
4. FEM的两种主要导出方法:
应用结力方法导出。 应用变分法导出。
5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1
基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，表示为
d Νδe。
(b)
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为
(c) ε Bδ 。 （4）应用物理方程，由单元的应变 ε ，求 出 单元的应力，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发 展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
m
um
vm
vi
i m
ui
i j
m
vj
j
1 i (a)
uj
(b)
j
(c)
图 6-5
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
FEM中以后的一系列工作，都是以位
移模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0
时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了
保证FEM收敛性,位移模式应满足下列
条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示
第二节
第三节
有限单元法的概念
单元的位移模式与解答的收敛性
第四节
第五节 第六节
单元的应变列阵和应力列阵
单元的结点力列阵与劲度列阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
第八节 第九节
结构的整体分析结点平衡方程组
y
Fiy ,vi*
i
* Fjy ,v j
j
Fjx ,u* j
(6-15)
Fix ,ui*
其中

δ ——结点虚位移，
*
o
x
图6-1
ε
*
——对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：用结力方 法求解弹力问题。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。
单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移 δi 为基本未知数的。但 其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公 式求应变、应力时，必须首先解决：如何由 单元的结点位移 δe (δi δ j δm T 来求出单元的 位移函数d (u( x, y) v( x, y)T 。 应用插值公式， 可由δ e 求出位移d。这个插值公式表示了单 元中位移的分布形式，因此称为位移模式。
以下来导出FEM。 一. 结构离散化——将连续体变换为离散 化结构；
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
结力研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其 他联系（图（a））。
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
(a) 桁架