单元刚度矩阵形成后，要将单元组成一个整体结构，即整体分析， 基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。 整体刚度矩阵的集成是按对号入座的方式叠加的。 用下面的三角形薄板作为示例： 共计4个单元，单元节点编号为：
整体刚度矩阵的形成
各个单元的刚度矩阵为：
整体刚度矩阵的形成
如果是二维问题，则总自由度数为2N个， 相应的整体刚度矩阵大小为2N×2N阶方阵。
1 1 x xj xk xi xj xk y yj yk yi yj yk
N i ( x, y )
1 i i x i y 1 1
1 1
同理：
三角单元的位移函数
位移函数运用示例： 已知各节点位移为：
求P点位移 P点的位移可由节点位移近似表示为
三角单元的位移函数
1
3 6 2
4
8
单元e
5
ui
e
vi
uj
vj
uk
vk
ul
vl
8节点单元
T
平面应力单元网格划分
应力梯度变化比较大的地方，网格应密一些 有应力集中的地方，网格应密一些 单元边界长度不要相差过大 单元各边夹角不要太大 集中载荷处要设置节点 结构不同材料交界面处要设置节点并作为单元边界 结构厚度突变处要设置节点并作为单元边界 分布载荷突变处要设置节点 施加位移约束处要设置节点 注意单元间的连接
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 根据弹性力学中的几何关系，单元内任一点(x,y)的应变表达 式为
矩阵形式
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 单元内任一点(x,y)的位移(u,v)可以采用节点位移近似表示：
• 将其代入应变表达式，则
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 为书写方便，应变分量矩阵可用分块矩阵表示
• 其具体可计算为：
虚功原理建立控制方程
• 外力虚功等于内力虚功。
• 结果： • 考虑到节点虚位移的任意性：
• 上式即为有限元控制方程。 • 此处K称为“刚度矩阵”
刚度矩阵
• 如果将求解域划分为多个单元，则
• 即
总体刚度矩 阵（总刚）
单元刚度 矩阵（单 刚）
单元刚度矩阵
三节点等厚三角形单元中B和D的分量均为常量， 则单元刚度矩阵可以表示为
• 简写为：
B也称为“应变矩阵”
应变的离散过程
• 应变的离散过程 • 由于形函数 • 所以刚才的矩阵事实上可表示为
• B矩阵中的所有元素已经由三角形单元的节点坐标确定。 • 应变在单元内为常数，所以又称为常应变单元。
应力的离散过程
• 应力的离散过程 • 根据广义虎克定律，对于平面应力问题：
物理方程
应满足： 单元内位移模式必须是连续的，公共边上位移必 须协调 位移模式必须反映单元的刚体位移 位移模式必须反映单元的常应变 可以证明三节点三角形单元是收敛的
完备单元和协调单元
三条准则： 1、位移模式必须包含单元的刚体位移 2、位移模式必须能包含单元的常应变 3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必 须协调 满足条件1、2的单元为完备单元 满足条件3的单元为协调单元
σ , τ
z
zx
, τ zy z δ 0
2
由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：
σ , τ
z
zx
, τ zy 0, (在V中)
其值与z无关
简化为平面应力问题，仅剩：
σ x , σ y , xy
弹性力学的平面应变问题
基本条件 （1）很长的常截面柱； （2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变； （3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变； （4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。
整体刚度矩阵的存储
各行的半带宽D怎么计算：
整体刚度矩阵的存储
可用一维数组A来存储半带宽内的元素，而不必储存所有元素。 本例中：总带宽
则可以采用如下方式存储：
整体刚度矩阵的存储
最大半带宽是多少？ 相邻节点的编码最大差值+1）×NDOF Dmax=(10-6+1)×2=10 设整体刚度矩阵K是一个n×n的矩阵, 其最大半带宽为D，那么利用带状矩 阵的特点和对称性，只需要存储以D 为固定宽度的元素，这种存储方法称 为二维等带宽存储 。
矩阵形式
应力的离散过程
• 应力的离散过程 • 如果令：
• 物理方程简写为 • D又称为“弹性矩阵” • 将前面应变的表达式代入，则
虚位移与虚应变
• 我们已经知道了应变与位移的关系
• 那么很自然的 • 如果发生了虚位移 • 则会发生虚应变
虚功原理建立控制方程
• 外力虚功等于内力虚功。
• 外力虚功 • 内力虚功
多项式的项数越多，结果就越精确，但取多少项由单元形式决定。
三角单元的位移函数
节点上只有六个位移分量，所以
单元内部位移函数的待定参数不
能超过这个数目。可假设单元内 部位移为x、y的线性函数：
参数ai由位移边界条件确定。
三角单元的位移函数
节点i
u ( xi , yi ) ui a1 a2 xi a3 yi
弹性力学的平面应变问题
坐标系：
oz x ox z
y
y
• 由于截面、外力、约 束沿z 向不变，外力、 约束平行xy面，柱体 非常长：故任何z 面 （截面）均为对称面。
w 0, 只有u,v; （平面位移问题）
简化为平面应变问题：
w 0 ε z 0, τ zx , τ zy 0 zx , zy 只有 x , y , xy . 其值与z无关 0, （平面应变问题）
其具体形式为
单元刚度矩阵
对于平面应力问题，其具体可计算如下：
单元刚度矩阵的物理意义
把前面获得的有限元控制方程展开：
那么 事实上就是当节点j产生单位位移时，在节点i上需要施加的 节点力。
单元刚度矩阵的物理意义
更具体一点：
当节点i在垂直方向产生单位位移时，在节点i上需要施加的垂直节点力 当节点j在水平方向产生单位位移时，在节点j上需要施加的水平节点力 当节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i上需要施加的水平节点力 当节点i在水平方向产生单位位移时，在节点j上需要施加的垂直节点力
1 2 3 4
二维单元
u ( x, y) 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 m y n
v( x, y) 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 m y n
设单元节点总数为N，每个节点的自由度数为NDOF。 (对于一维情况，NDOF=1；对于二维情况，NDOF=2；三维，NDOF=3)。
整体刚度矩阵的意义与性质
Kij 表示j自由度发生单位位移，其他位移为零时， 第i个自由度上必须施加的节点力。 总体刚度矩阵中的元素具有如下性质： （1）主对角元素Kii >0 （2）总体刚度矩阵K是对称的奇异矩阵


N u
i 1 i
3
i
三角单元的位移函数
表达为矩阵形式：
这里：
Ni,Nj,Nk是坐标的函数，它们反映了单元的位移形态，故
称为三角单元的形态函数（或形函数）
三角单元的位移函数
形函数具有明确的几何意义： 如图所示三角单元IJK，P为三角单 元内任意一点，其坐标为(x,y) P点在三角单元各角点上产生的形 函数分别是Ni,Nj,Nk
三角单元的位移函数
如果令
则：
根据线性代数的知识，可知：
三角单元的位移函数
T*为T的伴随矩阵
其中：
三角单元的位移函数
把求得的系数
代入位移函数公式： 得到：
u ( x, y )
N i ui N j u j N k u k

1 i i x i y ui j j x j y u j k k x k y uk
整体刚度矩阵的存储
元素Krs在整刚矩阵K中的行列编码记为r，s，在二维等带宽矩 阵K*中的行列编码为r*，s*
边界条件的处理
非节点载荷的移植： 集中力： 最好在集中力处设置节点 分布面力：
分布体力：
边界条件的处理
事实上，由于整体刚度矩阵的奇异性，仍然是没有办法求解。 原因在于位移边界条件没有引入。 方法一：划零置一法 若已知边界条件：
单元刚度矩阵的性质
性质1：对称性
单元刚度矩阵的性质
性质2：对角线上元素恒为正
单元刚度矩阵的性质
性质3：此矩阵为奇异矩阵 意义：没有对节点施加位移约束，所以单元产生任何的刚性位移 都是可以的，由力得不到位移的唯一解。 性质4：此矩阵的各行元素之和为零，由于对称性，各列元素之 和 也为零阵。
整体刚度矩阵的存储
由于整体刚度矩阵具有对称性、稀疏性和非零元素带状分布的 特点，所以没有必要将全部的整体刚度矩阵进行存储。 （1）利用对称性： 只保存整体刚度矩阵上三角的零元素即可； （2）利用稀疏性： 在用分块表示的整体刚度矩阵中，与相关节点对应的分块才 能具有非零的元素，其他位置上的分块矩阵的元素为零 （3）利用带状分布： 整体刚度矩阵的非零元素分布在以对角线为中心的带状区域 中，每行具有元素的元素的个数叫做“半带宽”，用D表示。
于是：
三角单元的位移函数
形函数的本质 计算点(x,y)的位移u(x,y)、v(x,y)可用单元内各节点的
位移值ui,vi的加权之和来近似表示，其中，各节点位移
加权系数为关于计算点(x,y)的函数，即为形函数 三角形单元形函数的性质 1、单元节点产生的形函数值为1或0