大学物理第1章质点运动学知识点复习及练
习
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第1章 质点运动学（复习指南）
一、基本要求
掌握参考系、坐标系、质点、运动方程和轨迹方程的概念，合理选择运动参考系并建立直角坐标系，理解将运动对象视为质点的条件.
掌握位矢、位移、速度、加速度的概念；能借助直角坐标系计算质点在平面内运动时的位移、平均速度、速度和加速度.会计算相关物理量的大小和方向.
二、基本内容
1．位置矢量（位矢）
位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段，用r
表示．r 的端点表示任意时刻质点的空间位置．r
同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标轴的方位．位矢是描述质点运动状态的物理量之一．对r
应注意：
（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即)(t r r
=．此式即矢量形式的质点运动方程．
（2）相对性：用r 描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r
可以是不相同的．它表示了r
的相对性，也反映了运动描述的相对性．
（3）矢量性：r
为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法．在平面直角坐标系xy o -系中
j y i x r
+=
22y x r r +==
位矢与x 轴夹角正切值
x y /tan =θ
质点做平面运动的运动方程分量式：)(t x x =，)(t y y =．
平面运动轨迹方程是将运动方程中的时间参数消去，只含有坐标的运动方程)(x f y =.
2．位移
j y i x t r t t r r
∆+∆=-∆+=∆)()(
r
∆的大小
()()22y x r ∆+∆=
∆ ．
注意区分：（1）r
∆与r ∆，前者表示质点位置变化，r
∆是矢量，同时反映位置变化的大小和方
位．后者是标量，反映从质点位置到坐标原点的距离的变化．（2）r
∆与s ∆，s ∆表示t t t ∆+→时间内
质点通过的路程，s ∆是标量．只有当质点沿直线某一方向前进时两者大小相同，或0→∆t 时，s r ∆=∆
．
3．速度
定义t r d d =v ，在直角坐标系xy o -中
j y i x r
+=
j i j t
y i t x
y x d d d d v v v +=+=
22
2
2d d d d y x t y t x v v v +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
v
的方向：在直线运动中，0>v 表示沿坐标轴正向运动，0<v 表示沿坐标轴负向运动．
在曲线运动中，v
沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方．
对速度应注意：瞬时性，质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；矢量性，速度为矢量，具有大小，方向，求解速度应同时求其大小和方向；相对性，运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参考系，坐标系，在确定的坐标系中求质点的速度；叠加性，因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的速度也是可叠加的，要注意区别速度和速率．要注
意t r d d 与t r d d
，t
r
d d 与t r d d 的区别．
4．加速度
t
a d d v
=，描述质点速度矢量随时间的变化，其中包括速度的大小和方向随时间的变化．不论速度的大小变化，或者是速度方向的变化，都会产生加速度．加速度为矢量．
在直角坐标系xy o -中，j a i a a
y x +=，其中
22x x d d d d t x
t a ==v ，22y y d d d d t y t a ==v
2
y
2x a a a a +== ．
加速度的方向与速度方向无直接关系．在直线运动中，若a 与v
同向，则质点作加速运动，
a 与v 反向，则质点作减速运动．在曲线运动中，a
方向总是指向曲线凹的一侧．加速度的大小与速度的大小也没有直接关系，只与速度大小的变化量有关．
三、例题详解
1-1、一人自坐标原点出发，25s 内向东走30m ，后10s 内向南走10m ，再后的15s 内向正西北走18m ．求在这50s 内，平均速度的大小和方向．
解：
j i j i j i BC
AB OA OC
73.227.17)45sin 45cos (181030+=︒+︒-++=++=
m 48.17= 方向=8.98°（东偏北）
m/s 35.0==∆∆=t r
v ，方向与位移方向相同，均为东偏北8.98°
． 1-2、有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为3225.4t t x -=（SI ）．试求： （1）第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒内的路程．
解：（1）1秒末位置坐标m 5.21=x ，2秒末位置m 22=x ，m/s 5.0/-=∆∆=t x v （2）269d /d t t t x -==v ，m/s 62629(2)2-=⨯-⨯=v （3）质点运动中间速度发生了方向变化，所以路程应累计相加
令0692=-=t t v ，得5.1=t ，m 375.3)5.1(=x ，所以m 25.2)5.1()2()1()5.1(=-+-=∆x x x x s
1-3、一质点沿x 轴运动，其加速度为t a 4=（SI ），已知0=t 时，质点位于m 10=x 处，初速度00=v ．试求其位置和时间的关系式．
解：t t
a 4d d ==
v
，t t d 4d =v ，⎰⎰=t t t 00d 4d v v 22t =⇒v 2
2d d t t
x ==v ，103
2
32d 2d 303020+=+=⇒=
⎰
⎰t x t x t t x t
x x （SI ）
1-4、一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2d d v v/K t -=，式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度)exp(0Kx -=v v 其中0v 是发动机关闭时的速度．
证：
2d d d d d d d d v v v v v K x
t x x t -==⋅= ∴ x K d d -=v v
东
Kx x K x -=⇒-=⎰
⎰
)ln(d d 000v v
v v v
v ∴ )exp(0Kx -=v v
四、习题精选
1-1、某质点作直线运动的运动学方程为6533+-=t t x （SI ），则该质点作（提示：求二阶导数，算出加速度表达式，再分析）
［ ］
（A ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． （B ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． （C ）变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． （D ）变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向．
1-2、一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度m/s 2=v ，瞬时加速度2m/s 2-=a ，则1秒钟后质点的速度（提示：注意加速度和速度的瞬时性）
［ ］
（A ）等于零． （B ）等于2m/s ． （C ）等于2m/s ． （D ）不能确定．
1-3、一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r
的端点处，其速度大小为（提示：区分以下量的含义） （A ）t r d d （B ）t r d d （C ）t r d d （D ）22d d d d ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x
［ ］
1-4、下列说法哪一条正确？
（A ）描述质点运动所选定的参考系一定是不动的，运动的物体不能作为参考系． （B ）质点模型只适用质量和体积都很小的研究对象． （C ）物体在一段时间内如果位移为零，其路程也必然为零． （D ）运动物体速率不变时，其速度可以变化．
［ ］
1-5一质点的位置矢量为j t i t r
323+=（SI ），该指点任意时刻的速度=v ________，任意时刻的加速
度=a
____________（提示：根据速度是位矢的一阶导数，加速度是位矢的二阶导数，答案要写单位）
1-6、一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为t a 23+=（SI ），如果初始时质点的速度0
v 为m/s 5，则当t 为3s 时，质点的速度=v ___________.（提示：根据t a d =v 设定积分限积分）
1-7、一质点沿直线运动，其运动学方程为26t t x -=（SI ），则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为_______，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为______．（提示：注意该运动速度方向改变的时间点，路程与位移的区别）
1-8、一质点沿x 轴作直线运动，它的运动学方程为32653t t t x -++=（SI ）则 （1）质点在0=t 时刻的速度=0v ___________；（2）加速度为零时，该质点的速度
=v _________．
（提示：利用速度是位矢的一阶导数，加速度是位矢的二阶导数）
1-9、已知质点的运动学方程为j t i t r )32(42
++=（SI ），则该质点的轨迹方程为： __________________．（提示：轨迹方程关键是消去时间参数）
1-10、一质点在xy o -平面内运动．运动学方程分量式为t x 2=和2219t y -=（SI ），则在第2秒内质点的平均速度大小=v ________，2秒末的瞬时速度大小=2v ______________．（提示：先计算平均速度矢量，再计算大小，而瞬时速度是位矢的一阶导数）。