解一元二次方程（3）
公式法解一元二次方程推导
ax 2+bx+c=0 x 2+x
a b +a c =0
x 2+x
a b =-a
c
2
+x a b +2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛a b =-a c +2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛a b
(x+a
b 2)2 =2
244a ac b - x=
a
b a a
c b 2242--±
x =
根的判别式(b 2-4ac)
240b ac ->⇔方程有两个不相等的实数根.
240b ac -=⇔方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根). 240b ac -<⇔方程没有实数根.
x 的一元二次方程222(1)10x k x k -++-=有实数根，则k 的取值范围是______.
思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有240b ac -≥.
解：21,2(1),1a b k c k ==-+=-
[]2
2
2
42(1)41(1)88b ac k k k ∴-=-+-⨯⨯-=+
因为方程有实数根，240b ac ∴-≥ 即：880k +≥ 1k ∴≥-
220x x -+=的根的情况是( ).
A 、只有一个实数根.
B 、有两个相等的实数根.
C 、有两个不相等的实数根.
D 、没有实数根
m 为何值时，方程x 2－（2m+2）x+m 2+5=0（20分）
（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根
公式法解一元二次方程
例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤： 解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式：
20ax bx c ++=(0a ≠)
2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值.
224(7)42(3)73b ac ∴-=--⨯⨯-=>0 ③、求出24b ac -的值.
(7)7224
x --±±∴=
=⨯ ④、若240b ac -≥，则把,,a b c 及24b ac -的值
代入
771244
x x +-∴=
= 求根公式，求出1x 和2x ，若240b ac -<，则方程无解。

1．3x 2+5x －2=0 2．3x 2－2x －1=0 3．8（2－x ）=x 2
（1）2x 2-7x+3＝0 （2） x 2-7x-1＝0
(3) 2x 2-9x+8＝0 (4) 9x 2+6x+1＝0
根与系数的关系-韦达定理
如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：
a
c
x x a b
x x =
⋅-
=+2121
12,x x 一元二次方程25140x x --=的两根，则12x x +=____，12x x •=____.
解：根据韦达定理得：
12125145,1411
b c x x x x a a --+=-
=-=•===-
(利用根与系数的关系求值)若方程2310x x --=的两根为12,x x ，则12
11
x x +的值为-_____.
解：根据韦达定理得：1212313,111
b c x x x x a a --+=-
=-=•===- 121212113
31
x x x x x x +∴
+===--
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-
121212
11
x x x x x x ++= 22121212()()4x x x x x x -=+- 12||x x -=
例利用根与系数的关系构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例 解方程组 x+y=5
xy=6
解：显然，x ，y 是方程z 2
-5z+6＝0 ① 的两根
由方程①解得 z 1=2,z 2=3
∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3
x 2=3,y 2=2
练习若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则
12
11x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．
12
D ．
92
练习若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
常考题型及其相应的知识点：
(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：
例1：关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______.
例2：一元二次方程 230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为_______.
例3.1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）2
22
1x x + （2）21x x - （3）22
22
133x x x -+
一、填空题
1.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=____________求得方程的解.
2.方程3x 2－8=7x 化为一般形式是________，a =__________,b =__________,c =__________,方程的根x 1=__________,x 2=__________.
二、选择题
1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是
、2=24312122⨯-± 、2=2
4312122⨯-±-
、2=24
312122⨯+± 、2=3
2434)12()12(2⨯⨯⨯---±--
2.方程x2+3x=14的解是
=
265
3±
=
265
3±
-
=
223
3±
=
223
3±
-
3.下列各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0的解的有
①1+5②1－5③1 ④－5
个个个个
4.方程x2+(2
3+)x+6=0的解是
=1,x2=6=－1,x2=－6 =2,x2=3 =－2,x2=－3三、用公式法解下列各方程
+2x－1=0 +13y+6=0 +6x+9=7
（1）2x2-7x+3＝0 （2） x2-7x-1＝0 (3) 2x2-9x+8＝0 (4) 9x2+6x+1＝0
四、拓展延伸：
1、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
2、求方程2
10x x 的两根之和以及两根之积
拓展应用:关于x 的一元二次方程2
40x x m 2,则m ;
方程的另一根是
课外练习
1、用公式法解方程:
(1)2
31
0x x (2)2
2430x x
(2)816
x x (4)2
x x
576
x x
(5)2
32
x (6)22510
2、三角形两边的边分别是8和6，第3边的长是一元二次方程216600
x x的一个实数根，则该三角形的面积是多少
3、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x－1与B=3x2－2相等吗。