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二次根式培优提高训练

《二次根式》培优一、知识讲解1.根式中的相关概念⑴二次根式:形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。

⑵ nn 次根式.其中若n 为偶数,则必须满足0a ≥。

⑶最简二次根式:满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有能开方的因数或因式。

⑷同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式之后,如果被开方数相同,则这几个根式叫做同类二次根式。

时,a c +=+ 2. 二次根式的性质 (1)()20a a =≥. (200 0 0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩当时,当时,当时.3.二次根式的运算法则:对于二次更是的加减,先把二次根式化为最简二次根式,然后再合并同类二次根式即可. (1)(a b =+ (2)0,0a b ≥≥(3))0,0a b =≥> (4))0ma =≥(5)若0a b >>>4. 分母有理化(1)把分母中的根号化去叫做分母有理化.(2)互为有理数因式:两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,则这两个代数式互为有理化因式.互为有理数因式。

分母有理化时,一定要保证有理化因式的值不为0.二、习题讲解基础巩固1.化简:(1) (2(3(4)(5(6) 解:(1). (23. (3)(43. (5)232-.(6)2. 设y =,求使y 有意义的x 的取值范围.解:由题知2102010x x x -≥⎧⎪-≥⎨⎪->⎩,解得1221x x x ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,所以x 的取值范围为122x ≤≤.3.(1)已知最简二次根式ba = ,b = . (2)已知0=,则2mn n +-的倒数的算术平方根为 .解:(1)由题知:2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩,解得02a b =⎧⎨=⎩.(2)因为0≥,2160m -≥0=所以221016040n m m m -+=⎧⎪-=⎨⎪->⎩,解得49m n =-⎧⎨=-⎩.所以15===.所以2mn n +-的倒数的算术平方根为15.4. (1)若m=,试确定m 的值.(2)已知x 、y为实数,13y x =-,求56x y +.解:(1)因为19901990x y x y -+≥⎧⎨--≥⎩,即199199x y x y +≥⎧⎨+≤⎩,所以199x y+=①.所以0=.又因为0≥0≥,所以3520 230 x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩②③.由①,②,③可得:2001m =.5.在、1999有多少个?解:由题知:==19个.6.计算:(1)((1617解:(1)原式((16=⎡⎤⎣⎦()(16=1211-(2)(5+解:原式(()=5555256+-(3)22-解:原式22=⎤⎤+-⎦⎦=⎤⎤+⎦⎦===(4)计算:(1111x x +++解:原式((1111x x ⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣⎦()()()()222311111x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++=-⎢⎥⎣⎦(5)(解:原式{}{}⎤⎤⎡⎡=⎦⎦⎣⎣()()523235⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦=24=.7.化简:=..A. BCD解:()()⎣⎦=⎡⎡+⎣⎣()()222+=-=212==12=+8.计算:.解:原式()()4172x x --=())())417247x x x x --=---)12=-3=-.9.设x =,y =,n 为自然数,如果22219721993x xy y ++=成立,求n的值.解:由题知:()2222197221931993x xy y x y xy ++=++=x y +=22+==42n =+.1xy ==.当x y +==-1xy =时,()224219311993n ++⨯=,即()242900n +=. 因为n 为自然数,所以4230n +=,解得7n =.10. 若正整数a 、m 、n=,则a 、m 、n 的值依次是 . 解:因为0≥0≥,即m n ≥.由题知:22=,即2a m n -=+-所以2a m n =+=.故有8mn=.因为a 、m、n 为正整数,所以8m =,1n =,3a =. 11.(1))))201220112010121412010--+= .解:原式)))20102112142010⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦)2010151242010⎡⎤=+--+⎣⎦2010=.(2)化简:解:原式==3=3=3==3===.二、拓展提高1.已知x=,y=,求22y xx y+的值.解:由题知:原式()()()()()()()2 22332223x y x y xy x y x xy yy xxy xyxy⎡⎤++-+-++⎣⎦===x y+=22+=10=,1xy==. 当10x y+=,1xy=时,原式()22101031⨯-=970=.2.(1)). 5A-1B-. 5C. 1D(2)代数式.解:(1)=)21=2=,==3=-.所以231=+-=,故答案选D.(2)222=+82818=++=因为0≥==3.若1x =,则54322171816x x x x x +--+-的值为 .解:因为1x =,所以()221x -=,化简的22160x x --=.原式543322216216216x x x x x x x x =+---+++-()()222161x x x x =+--+()201x x =⨯-+0=4. 已知非零实数a 、b 满足等式542b a a b ab b a ++=+的值. 解:由542b a a b ab b a++=+可得:22542b a a b ++=+,即()()22120b a -+-=,解得2a =,1b =.所以原式1===.5.22006= 解:令2006x =,由题知: 原式2x =2x =2x =2x =221x x x =+--1200612005x =-=-=.6. 已知2=的值为 .解:令m =n 22210m n m n -=⎧⎨-=⎩. 所以()()()22210x y x y x y x y -=+-=+=5m n =+=.7.化简:.解:原式=-==2==5=.8.计算:⋅⋅⋅+.解:原式==+⋅⋅⋅+4512025=-1145=-4445=.9.⋅⋅⋅+解:原式=37132612=++⋅⋅⋅1111111112233420102011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112010122320102011=+++⋅⋅+⨯⨯⨯111112010122320102011=+-+-+⋅⋅+-1201012011=+-201020102011=。

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