第三章 习题及答案传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。

发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少?解： 41min, =0.25min T T =2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件2)0( , 1)0(='=--y y ，试求：⑴系统的零输入响应y x (t )；⑵激励f (t ) (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )；⑶激励f (t ) e 3t(t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。

解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e 4t tε-时，系统的全响应)()e 61e 27e314()(42t t y t t tε-----=。

试求零输入响应y x (t )与零状态响应y f (t )、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。

解：4. 设系统特征方程为：0310126234=++++s s s s 。

试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有 所以，此系统是稳定的。

5. 试确定下图所示系统的稳定性.解：210110(1)(1)(). ()210(21)1(1)s s s s a G s s s s s s s +++=⋅=⨯+++ 系统稳定。

满足必要条件，故系统稳定。

6.已知单位反馈系统的开环传递函数为)12.001.0()(2++=s s s Ks G ξ，试求系统稳定时，参数K 和ξ的取值关系。

解：2()(0.010.21)0D s s s s k ξ=+++=由Routh 表第一列系数大于0得0020k k ξξ>⎧⎪>⎨⎪<⎩，即)0,0(20>><k k ξξ-1，求K 值应取的范围。

解：系统特征方程为要使系统特征根实部小于1-，可以把原虚轴向左平移一个单位，令1+=s w ，即 1-=w s ，代入原特征方程并整理得 运用劳斯判据，最后得8. 设系统的闭环传递函数为 222()2nc n nG s s s ωξωω=++，试求最大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。

解：∵%100%21⨯=--ξξπσe=9.6%∴ξ=0.6 ∵t p =πωξn 12-＝0.2∴ωn =πξt p 13140210622-=-=...19.6rad/s9.设单位负反馈系统的开环传递函数为 )6(25)(+=s s s G k求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn ；（2）系统的峰值时间t p 、超调量σ％、 调整时间t S (△=0.02)；解：系统闭环传递函数2562525)6(25)6(251)6(25)(2++=++=+++=s s s s s s s s s G B 与标准形式对比，可知 62=n w ξ ，252=n w故 5=n w ， 6.0=ξ 又 46.015122=-⨯=-=ξn d w w10. 一阶系统结构图如下图所示。

要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数 令闭环增益212==ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03321≤==K K T t s ，得：151≥K 。

11.设某高阶系统可用下列一阶微分方程：T c t c t r t r t ••+=+()()()()τ近似描述，其中，1)(0<-<τT 。

试证系统的动态性能指标为：T T T t d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=τln 693.0； t T r =22. ； T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入ss R 1)(= 当初始条件为0时有：11)()(++=Ts s s R s C τ 1) 当 t t d = 时12=--T T e t T d τ/ ; Tt T T d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln 2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)当 Tt eTT t h /219.0)(---==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 Tt eTT t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21090122ln ... 3) 求 t s12. 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2345=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D （3）022)(45=--+=s s s s D（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D解（1）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 εε124- 10S 6 S 0 10第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32S 4 3 24 48S 33122434⨯-= 32348316⨯-= 0 S2 424316412⨯-⨯= 48 S 1216448120⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,S 24 辅助方程求导：024=sS 0 48系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）022)(45=--+=s s s s DRouth ： S 5 1 0 -1S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s S 3 8 0 辅助方程求导 083=sS 2 ε -2 S ε16S 0 -2第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224=-s 可解出： （4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s S 3 8 96 辅助方程求导 09683=+s sS 2 24 -50 S 338/3S 0 -50第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程05048224=-+s s 可解出：13.已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为)(1t 、t 和2t 时系统的稳态误差。

⑴)15.0)(11.0(10)(++=s s s G⑵)22)(4()3(7)(2++++=s s s s s s G 解： ⑴ 1010()0(0.11)(0.51)K G s v s s =⎧=⎨=++⎩ ()(0.11)(0.51)100D s s s =+++=经判断系统稳定⑵ 273217(3)()428(4)(22)1K s G s s s s s v ⨯⎧==+⎪=⨯⎨+++⎪=⎩ 经判断：系统不稳定。

14.已知单位负反馈系统的开环传递函数如下： 求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；（2）试求输入为t t r 31)(+=时，系统的稳态误差。

解：（1）将传递函数化成标准形式 可见，v ＝1，这是一个I 型系统 开环增益K ＝50；（2）讨论输入信号，t t r 31)(+=，即A ＝1，B ＝3 误差06.006.00503111=+=+∞+=++=V p ss K B K A e15. 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下： 求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；（2）试求输入为2425)(t t t r ++=时，系统的稳态误差。

解：（1）将传递函数化成标准形式可见，v ＝2，这是一个II 型系统 开环增益K ＝100； （2）讨论输入信号，2425)(t t t r ++=，即A ＝5，B ＝2, C=4 误差04.004.00010042151=++=+∞+∞+=+++=a V p ss K C K B K A e16.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。

⑴若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ ⑵当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a ）系统： 1101110)(+=+=s s K s G a ， 时间常数 10=T632.0)(=T h （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；对（a ）系统：11011010110010110100)(+=+=Φs s s b ， 时间常数 10110=T632.0)(=T h （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a ）系统： 1)()()(==s N s C s G n 1.0)(=t n 时，该扰动影响将一直保持。

对（b ）系统： 1011011011010011)()()(++=++==Φs s s s N s C s n 1.0)(=t n 时，最终扰动影响为001.010111.0≈⨯。

)(t h 和调节时间t s 。

解：依题，系统闭环传递函数421=T T ， ∴3.33.3111==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T t t s s 。

18. 设下图（a ）所示系统的单位阶跃响应如图（b ）所示。

试确定系统参数,1K 2K 和a 。

解：由系统阶跃响应曲线有 系统闭环传递函数为222212212)(nn n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ （1） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧===-=--o o oo np e t 3.331.01212ξξπσωξπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==28.3333.0n ωξ 由式（1）⎩⎨⎧====222110821n n a K ξωω另外 3lim 1)(lim )(2122100==++=⋅Φ=∞→→K K as s K K s s s h s s 19. 设角速度指示随动系统结构图如下图所示。